Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 35 из 36Следующая ⇒

При решение задачи на равновесие системы тел приходится составлять уравнения равновесия для каждого тела, если даже нас интересует лишь одна из неизвестных реакций. Возникает вопрос, не существует ли такой способ, который позволил бы составить уравнения только с теми неизвестными, которые требуется найти, и чтобы другие неизвестные в эти уравнения не входили. В рамках аналитической механики такой способ создан трудами учёных нескольких поколений. Он называется принципом возможных перемещений (иногда: виртуальных перемещений; виртуальных скоростей; виртуальных работ). Некоторые учёные считали этот принцип истиной, не требующей доказательств (поэтому в названии - принцип).

Связи и возможные перемещения. Всякую точку M (x,y,z) называют свободной точкой, если ее можно переместить, дав её координатам x,y,z малые приращения бx, бy, бz произвольного знака и величины, и никакие тела не препятствуют этому перемещению. Свободная точка обладает 6 степенями свободы. Точку называют несвободной, если её перемещение ограничено какими-либо условиями.

Ограничения, стесняющие движение точки, называют связями.

Связи всегда осуществляются посредством других материальных тел и можно ограничивать не только перемещения, но и вообще движение (например, может быть ограничение скорости) точек.

Связи могут быть наложены не только на точки, но и на твёрдые тела. Если связи не наложены на твёрдое тело, то оно - свободное и обладает 6 степенями свободы.

Связи классифицируют в соответствии с характером математических соотношений, которыми они выражаются.

Связь называется голономной (конечной) если она выражается конечным (не дифференциальным) уравнением, связывающим координаты точек системы.

Для одной точки уравнение голономной связи имеет вид f (x, y, z)=0.

Это означает, что точка при движении должна находиться на некоторой поверхности, выражаемой этим уравнением. Связь будет голономной и тогда, когда она выражается интегрируемым дифференциальным уравнением. Если время t не входит явно в уравнение, т. е. связь не изменяется со временем, то такая связь называется стационарной.

 – голономная стационарная связь.

 – голономная нестационарная связь.

Связь называется двухсторонней (удерживающей), если она выражается уравнением, и односторонней (неудерживающей), если она выражается уравнением, соединённым с неравенством.

 – удерживающая;

 <0 – неудерживающая (но и внутри).

Пример: кольцо на проволоке – удерживающая связь; шарик на столе – неудерживающая связь. Подшипник, сферический шарнир – удерживающие связи; нить, рельсы – неудерживающиеся связи.

Пока неудерживающаяся связь «напряжена», т.е. во внимание берётся знак равенства в материальном выражение связи, она может рассматриваться как удерживающая. Если неудерживающая связь «ослабнет», т.е. в её материальное выражение будет приниматься во внимание знак неравенства, то с этого момента её можно считать исчезнувшей и игнорировать её действие на рассматриваемую точку. Поэтому будем рассматривать лишь удерживающие связи.

Возможным (виртуальным) перемещением называют воображаемое достаточно малое перемещение, допускаемое в данное мгновение наложенными связями.

Допускаемое связями – т.е. не нарушающее эти связи. Пример: бесконечно малое воображаемые перемещения тела по плоскости.

Чтобы сообщить телу возможное перемещение, не нужно прикладывать к нему какие-либо силы, потому что возможные перемещения – воображаемые.

Для возможного перемещения не требуется никакого времени, и оно происходит как бы мгновенно, при фиксированном (постоянном) значении времени t.

Возможное перемещение точки обозначим б , тогда координаты точки x, y, z получат малые приращения бx, бy, бz, называемые изохронными вариациями координат, (изохорные – т. е. при данном значении t (мгновенно)).

Символ б– для отличия от действительного перемещения d  с приращениями dx, dy, dz.

Отличие дифференцирования функции от изохорного варьирования в том, что при дифференцировании t – является переменной величиной, а при варьировании t – рассматривается как постоянный параметр.

    Среди всех возможных перемещений существует некоторое число (k) независимых друг от друга. Тогда прочие следует выражать через них. Если все связи голономные, то (k) даёт число степеней свободы.

    Независимым возможным перемещениям можно придавать любые значения, в том числе и 0.

    При анализе возможных перемещений б величинами более высоких порядков пренебрегают.

    Виртуальная работа. Идеальные связи. Если к точке приложена сила F, то, сообщив точке возможное перемещение б , можно подсчитать элементарную работу этой силы на возможном перемещении точки, ее и называют виртуальной работой.

бx+ +

    Для совершения виртуальной работы не требуется ни времени, ни затраты энергии. Виртуальная работа – абстрактное понятие, важное и удобное в использовании в аналитической механике. Понятие виртуальной работы используется для определения понятия идеальной связи: Связи называются идеальными, если сумма виртуальных работ их реакций на любом возможном перемещении системы, допускаемом именно этими связями, равна нулю.

    Принцип возможных перемещений. Пусть какая-либо механическая система с идеальными связями находится в равновесии, т. е. все точки системы находятся в равновесии под действием активных сил и идеальных реакций.

    Покажем, что в этой системе сумма элементарных работ всех активных сил на всяком возможном перемещении рана нулю.

    Рассмотрим произвольную s-ную точку системы. Она находится в равновесии под действием активных сил, равнодействующую которых обозначим через  и идеальных связей, равнодействующую реакции которых обозначим через , т. к. точка находится в равновесии, то равнодействующая всех приложенных к ней сил равна 0.

 =0

    Известно, что работа равнодействующей равна сумме работ составляющих сил. А т.к. равнодействующая всех сил, приложенных к взятой точке, равна нулю, то, следовательно, будет равна нулю и сумма элементарных работ всех приложенных к точке активных сил и реакций, если сообщим этой точке какое – либо возможное перемещение.

    Точка выбрана произвольно, и сказанное относится ко всем точкам системы.

    Дадим системе какое – либо возможное перемещение. Это перемещение выводит систему из данного положения, но не нарушает связей. Как доказано, сумма работ всех активных сил системы и всех реакций идеальных связей на этом возможном перемещении равна нулю:

    Но вторая сумма этого равенства тождественно равняется нулю, потому что все связи идеальные, следовательно, равна нулю и первая сумма.

    Это равенство выражает принцип возможных перемещений: для того, чтобы система находилась в равновесии в некотором положении, необходимо, чтобы при любом возможном перемещении сумма виртуальных работ всех активных сил равнялась нулю.

    Изучение равновесия систем методом возможных перемещений составляет предмет аналитической механики.

    При решении задач статики по этому методу удобно определять виртуальную работу по формуле:

бx+ +  =0.

    Это уравнение называют общим уравнением статики.

Принцип Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Это выражение называют общим уравнением динамики.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология