Принцип Даламбера для точки и механической системы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 34 из 36Следующая ⇒

Вопросы для самоконтроля

1. Импульс силы. Теорема об изменении количества движения.

2. Момент инерции тела. Момент количества движения точки и системы.

3. Теорема об изменении момента количества движения системы.

4. Работа силы и кинетическая энергия.

5. Определение кинетической энергии при различных случаях движения.

6. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Контрольная задача 11.1

Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки

Телу массой m сообщена начальная скорость v₀, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. На тело действует сила P, направленная в те же сторону (рис. 11.2).

Рис. 11.2.

Зная закон изменения силы Р=Р(t) и коэффициент трения скольжения f, определить скорость тела в момент времени t₁ , t₂ , t₃ и проверить полученный результат для момента времени t₁ с помощью дифференциального уравнения движения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 11.1.

Таблица 11.1

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра шифра

m, кг

v₀ , м/с

t₁, с

t₂, с

t₃, с

P₀, Н

P₁, Н

P₂, Н

P₃, Н

α, град

f

5,4

0,10

3,0

0,25

4,0

0,10

4,5

0,12

9,0

0,08

4,0

0,06

8,0

0,20

7,6

0,12

5,0

0,20

12,0

0,08

При построении графика изменения силы Р по заданным её значениям Р₀, Р₁, Р₂, Р₃ для момента времени t₀, t₁ , t₂ , t₃, считать зависимость Р=Р(t) между указанными моментами времени линейной. Значение силы Р, задаваемое по табл.11.1 в виде дроби, указывает на то ,что модуль силы в заданный момент времени претерпевает «скачек»: в числителе указан модуль силы в конце промежутка времени, а в знаменателе – в начале следующего промежутка времени.

Пример выполнения задания

Дано: m=40 кг, v₀=10 м/с, t₂=8 с, Р₀=0, t₃=12 с, Р₁=250 Н, Р₂=300/200 Н, α=30°, f=0,1.

Определить v₁, v₂, v₃ и  t₁, t₂, t₃.

Решение

Покажем силы, действующие на тело (рис. 11.2): вес , нормальную реакцию плоскости , силу  и силу трения скольжения , направив её противоположно начальной скорости, т.е. вниз по наклонной плоскости.

Построим график Р=Р(t) по заданным значениям Р₀, Р₁, Р₂, Р₃ (рис. 11.3).

1. Для тела, принимаемого за материальную точку, составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения в проекциях на ось Х для промежутка времени от 0 до t:

mv_1x-mv_ox=ΣS _ix;

где ΣS _ix=Gt₁ -Ft₁+S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за t₁ с:

S_px= .

Этот интеграл определяется как площадь треугольника ОВМ на графике Р=Р(t):

S_px= =375Н

Рис. 11.3.

Учитывая, что сила трения скольжения F=fN=fG cosα, получаем уравнение (1) в следующем виде:

mv_1x-mv_0x=-gt₁ sinα-fg cosα t₁+375,

откуда

v_1x=v_0x-gt₁ sinα – fg cosα t₁+>  ,

т.е.  v_1x=10-9,81 3 0,5-0,1 9,81 0,87 3+ =10-14,72-2,76+9,38=2,10 м/с ,

таким образом, v₁= v_1x=2,10 м/с.

2. Для определения скорости тела в момент времени t₂ составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения, для промежутка времени t₂-t₁ :

mv_2x-mv_1x= ΣS_ix

где ΣS_ix=-G(t₂-t₁) -F(t₂-t₁)+S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₂-t₁) с выражается площадью трапеции МВСL S на графике Р=Р(t):

S_px= =1375

Поэтому уравнение имеет вид

mv_2x-mv_1x=-mg(t₂- t₁) sinα -fmg cosα(t₂- t₁)+1375,

откуда

v_2x=v_1x-g(t₂- t₁) sinα – fg cosα(t₂- t₁)+ =

=2,10-9,81 0,5-0,1 9,81 0,87 5+ =2,10-24,52-4,27+34,38=7,68 м/с .

Таким образом,

v₂=v_2x=7,68 м/с .

3. Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения и составленное для промежутка времени t₃-t₂, даёт возможность определить скорость тела v₃ в момент t₃:

mv_3x-mv_2x= ΣS_ix

где ΣS_ix=-G(t₃-t₂) -fG  (t₃-t₂)+S_px.

Проекция импульса переменной силы Р за (t₃-t₂) с выражается площадью трапеции УDEK:

S_px= =700

тогда v_3x=v_2x-g(t₃- t₂) sinα – fg cosα(t₃- t₂)+ =

=7,68-9,81 0,5-0,1 9,81 0,87 4+17,5=7,68-19,62-3,41+17,5=2,15 м/с .

Таким образом,

v₃=v_3x=2,15 м/с.

Контрольная задача 11.2

Исследование вращательного движения твёрдого тела.

На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна , с некоторого момента времени (t=0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.

Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m₁  и m₂, а масса поднимаемого груза 3 – m₃. Момент сил сопротивления вращения ведомого звена 2 равен М_С. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R₁, r₁, R₂, r₂.

Схемы механизмов показаны на рис.11.4, а необходимые для решения данные приведены в табл. 11.2.

Найти: уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл.3. Определить также натяжение нитки в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкосновение звеньев 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции  и  в табл. 11.2 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Таблица 11.2

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра шифра

Номер схемы

m₁, кг

m₂, кг

m₃, кг

R₁, см

r₁, см

R₂, см

r₂, см

i_х1*, см

i_х2*, см

M₁, Нм

P₁, Н

M_с, Нм

w₁₀,

с^-1

t₁, с

*

2100+20t

-

-

1800+40t

t

0.5

t

3000+100t

0.5

2.5

-

2700+200t

1.5

-

5500+200t

4800+10t

-

-

3000+100t

-

9700+50t

-

5900+30t

-

-

-

500+100t

1.5

Примечание:

1. Звёздочками (xx) обозначено звено, для которого нужно определить уравнение вращательного движения.

2. Радиусы инерции звеньев 1 и 2 i_X1, и i_X2, заданы относительно осей вращения этих звеньев.

Пример выполнения задания

Пусть: m₁ =100, m₂ = 150, m₃ = 400 кг, М=4200+200t Нм, М_С =2000 Нм = соnst, R₁=60, R₂=40 cм, r₂=20 cм, i_x1=20√2, i_xb= 30см, w₁₀= 2c^-1.

Найти уравнение вращательного движения звена второго механизма), а также окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t₁ (рис.11.5).

Решение

К звену 1 механизма приложена сила тяжести , движущий момент М, составляющие реакции подшипника ,  , окружное усилие  и нормальная реакция  звена 2.

К звену 2 механизма приложена сила тяжести  , момент сил сопротивления , составляющие реакции подшипника , , натяжение нити Т , к которой подвешен груз 3, окружное усилие   и нормальная реакция   звена 1.

К грузу 3 приложена сила тяжести , и натяжение нити Т.

Очевидно: = - , = -  и .

Составим дифференциальное уравнение вращения звена 1 вокруг неподвижной оси : =  .

Главный момент  внешних сил, приложенных к звену 1, относительно оси

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Рис. 11.4. Схемы к задаче 11.2: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5;

е) схема 6; ж) схема 7; з) схема 8; и) схема 9; к) схема 10

Момент М приводит в движение систему и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый усилием , препятствует вращению звена 1 и, следовательно, отрицателен.

Рис. 11.5.

Дифференциальное уравнение вращательного движения звена 1 примет вид . Выразим угловое ускорение  звена 1 через угловое ускорение  звена 2.

Так как  , то  .

Тогда уравнение принимает следующий вид:

Для составления дифференциального уравнения вращения вокруг оси   звена 2, к которому подвешен груз 3, применим теорему об изменении кинетического момента

Кинетический момент системы 2-3 относительно оси

, где  - кинетический момент звена 2, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси ;

 - момент количества движения груза 3 , движущегося поступательно со скоростью V. Так как V= ,

,

где   - приведённый к оси  момент инерции системы 2-3.

Главный момент  

Момент, создаваемый усилием , приводит к движению системы 2-3 и поэтому принят положительным, а момент силы тяжести груза   и момент сил сопротивления  препятствует движению системы и, следовательно, отрицательны.

Таким образом, получаем .

Получаем следующее дифференциальное уравнение вращения звена 2:

=  . В полученной системе уравнений

неизвестные усилия  и угловое ускорение . Исключим , для чего первое уравнение этой системы умножим на , второе на  и сложим соответствующие части уравнений:

( ) ,

отсюда . Данное выражение определяет в общем виде угловое ускорение звена 2 механизма.

Учитывая исходные данные, найдём:

 = 100 (0,2 )² = 8 кг м²,   = +  = 150·0,3² + 400·0,2² =29,5 кг м²

    Из выражения .

Интегрируем это выражение дважды:

 + 0,4597t +  ; 0,672 t³ + 0,230 t² + C₁t + C₂

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи: при t = 0; = 0;

 2 ·  = 3

Следовательно, = С₁ ; = С₂ , т.е. С₁ = 3 с^-1 , С₂ = 0.

Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид

 2,017·t² + 0, 4597·t + 3, с^-1 .

Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид

 0,672·t³ + 0,230·t² + 3t, рад.

Окружное усилие S можно определить из уравнения:

 , при t = 1 c

S =

Для определения натяжения нити Т составим дифференциальное уравнение вращения звена 2 (рис. 11.6) в следующем виде:

Рис. 11.6.

= , из которого T= ,

при t = 1 c Т =

Контрольная задача 11.3

Данная задача решается с применением теоремы об изменении кинетической энергии механической системы. Прежде всего, требуется определить систему, т.е. перечислить те тела, которые включены в состав системы. Затем нужно изобразить систему в произвольный момент времени, показать все силы (заданные и реакции связей), действующие на тела системы, определить скорости тел и перемещения точек приложения сил. После этого необходимо вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях, вычислить работу всех сил на заданных перемещениях и подставить полученные результаты в формулу, выражающую теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме. Исходные данные приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра шифра

r, см

S, м

M, Н м

Силы, кН

Номер схемы (рис. 11.7)

a, град

f

P

Q

F

2,1

1,1

3,1

8,1+0,5S

0,06

2,2

1,2

3,2

8,2+0,4S

0,07

2,3

1,3

3,3

8,3+0,3S

0,08

2,4

1,4

3,4

8,4+0,2S

0,09

2,5

1,5

3,5

8,5+0,1S

0,10

2,6

1,6

3,6

8,6+0,5S

0,06

2,7

1,7

3,7

8,7+0,4S

0,07

2,8

1,8

3,8

8,8+0,3S

0,08

2,9

1,9

3,9

8,9+0,2S

0,09

3,0

2,0

4,0

9,0+0,1S

0,10

Условие

Однородный каток В весом Q и радиусом R соединён гибкой нерастяжимой и невесомой нитью с грузом А весом Р (рис. 11.7). Нить переброшена через невесомый блок О радиусом r. К оси С катка (см. рис.11.7, схемы 1–5) или к грузу А (см. рис.11.7, схемы 6–8) или к свободному концу нити (см. рис.11.7, схемы 9,10) приложена сила F, линейно зависящая от величины перемещения S. Каток катится без скольжения; коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f, момент сил сопротивления в подшипнике блока – М. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину S. В начальный момент система находилась в покое.

Пример решения задачи 11.3.

Условие. Однородный каток В весом Q=4 кН и радиусом R и груз А весом Р=2 кН, соединённые гибкой нерастяжимой и невесомой нитью, помещены на шероховатую поверхность, наклонённую к горизонту под углом a=30⁰  (рис. 11.8). Нить переброшена через невесомый блок О радиусом 30 см.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Рис. 11.7. Схемы к задаче 11.3: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5;

е) схема 6; ж) схема 7; з) схема 8; и) схема 9; к) схема 10

Рис. 11.8.

К свободному концу нити приложена сила F, линейно зависящая от величины перемещения s: F=9,0+0,15×s (кН). Каток катится без скольжения; коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1, момент сил сопротивления в подшипнике блока М=300 Н м. Определить скорость груза А, когда он переместится на величину s=3 м. В начальный момент система находилась в покое.

Решение. Формула, выражающая теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме, имеет вид

                                            (11.1)

где T, T₀ – кинетическая энергия системы соответственно в конечный и начальный моменты времени;

 – суммы работ соответственно всех внешних и внутренних сил, действующих в данной системе.

В рассматриваемой задаче система состоит из катка, груза, блока и нити. Система сил, действующих на систему, включает активные силы Q, P, F, реакции связей N_A, N_B, F_сц, F_тр, R_x, R_y и момент трения в блоке M.

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на соответствующих перемещениях точек их приложения:

Работы сил N_А и N_B равны нулю, так как направления этих сил составляют прямой угол с направлениями перемещений точек их приложения. Работа силы сцепления F_сц и работы реакций R_x и R_у равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Работы сил F, Р, Q, F_тр и пары сил с моментом М определим следующим образом:

После суммирования получим

.    (11.2)

Рассматриваемая механическая система состоит из абсолютно твёрдых тел, соединённых идеальной нитью. Для таких систем с идеальными связями сумма работ всех внутренних сил равна нулю

.                                                                       (11.3)

Рассчитаем кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях.

По условию задачи система в начальный момент находилась в покое, следовательно, её кинетическая энергия в этот момент равна нулю T₀=0.

Кинетическая энергия груза А, движущегося поступательно, равна

,

где  – масса груза А; – скорость груза.

Кинетическая энергия катка В, совершающего плоское движение, равна

,

где  – масса катка В;

v_C – скорость центра масс С катка, ;

 – момент инерции катка относительно оси, проходящей через его центр масс;

w_В – угловая скорость катка, .

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в неё:

(11.4)

Подставляя выражения (2) – (4) в формулу (1), выражающую теорему об изменении кинетической энергии системы, получим

,

откуда искомая скорость груза А, в момент, когда он переместится на расстояние 3 м, равна

Глава 12.Принципы динамики

Принцип Даламбера для материальной точки. При движении материальной точки s активные силы  и реакции связей вместе с силой инерции точки образует равновесную систему сил. Пусть на материальную точку с массой m действует система активных сил, равнодействующую которой обозначим,  и реакции связи  (если точка является несвободной). Под действием всех этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчёта с некоторым ускорением .

Величину   – называют силой инерции точки.

Принцип Даламбера есть условие относительного равновесия для сил в собственной системе отсчёта.

Принцип Даламбера для системы материальных точек: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на неё внешних и внутренних сил присоединить действующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Реакции в связях от тела, движущегося с ускорением, с учётом сил инерции будут динамическими реакциями.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры