Глава 3. Пространственная система сил

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 36Следующая ⇒

Вопросы для самоконтроля

Условия и уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил.

Момент силы относительно точки.

Условие и уравнение равновесия плоской системы сил.

Связи и реакции связей.

Системы сходящихся сил. Силовой многоугольник.

Момент силы относительно центра (точки).

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Пара сил.

Момент пары сил.

Контрольная задача 2.1

Задача 2.1 на равновесие твёрдого тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, расположенных в плоскости. Для ее решения надо рассмотреть равновесие соответствующего тела (блока или шара – условия 1.1 и 1.2 соответственно). К телу следует приложить активные (заданные) силы, затем применить принцип освобождаемости от связей, отбросив связи и заменив их действие на тело реакциями. Для нахождения искомых величин необходимо составить уравнения равновесия. Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра
шифра

Q, Н

Номер

условия

Номер схемы (рис. 2.7)

Углы, град

α

Β

γ

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.2

1.2

1.2

1.2

Условия

1.1. На конструкции, состоящей из двух невесомых стержней АВ и АС , скреплённых между собой и с опорами с помощью шарниров, укреплён в узле А блок. Через блок перекинут невесомый канат, один конец которого прикреплён в точке D, а к другому подвешен груз Q ( рис. 2.7, схемы 1 – 6). Определить усилия в стержнях, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитическим и графическим способами.

1.2. Определить давление однородного шара весом Q на опоры, если шар опирается на две гладкие плоскости (см. рис. 2.7, схемы 7–8), на гладкую плоскость и выступ (см. рис. 2.7, схема 9), на два выступа (см. рис. 2.7, схема 10). Задачу решить аналитическим и графическим способами.

Пример решения задачи 2.1

Условие. На конструкции, состоящей из двух невесомых стержней АВ и АС, скреплённых между собой и с опорами с помощью шарниров, закреплён в узле А блок. Через блок перекинут невесомый канат, один конец которого прикреплен в точке D, а к другому подвешен груз Q. Определить усилия в стержнях, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитическим и графическим способами. Схема конструкции приведена на рис. 2.7, схема 2, a = 150°, Q = 600 Н.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Рис. 2.7. Схемы к задаче 2.1: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5;

е) схема 6; ж) схема 7; з) схема 8; и) схема 9; к) схема 10

Аналитический способ решения. Изобразим блок А, пренебрегая его размерами (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

К нему приложены заданная сила тяжести подвешенного груза Q и реакции стержней АВ (S_B), АС (S_C), сила натяжения каната T. При отсутствии трения в блоке сила натяжения каната, перекинутого через блок, одинакова во всех точках, поэтому модуль силы натяжения каната T равен модулю силы тяжести груза Q, а направление этой реакции гибкой связи – вдоль каната от А к D. Реакции стержней направим вдоль стержней в произвольную сторону, например от узла А. Для нахождения проекций сил изобразим оси координат. Для узла А, находящегося в равновесии под действием системы четырёх сходящихся сил, расположенных в плоскости, составим два уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси координат и решим их.

Получим

Из второго уравнения найдём

Подставив выражение для S_B в первое из уравнений равновесия, получим

Знак минус у найденной реакции S_B означает, что истинное направление этой реакции противоположно выбранному, т.е. она направлена от В к А, и, следовательно, стержень АВ сжат. Стержень АС в соответствии с направлением реакции S_C растянут.

Графический (геометрический, графоаналитический) способ решения. Этот способ основан на построении замкнутого силового многоугольника (в нашем случае четырехугольника). Сначала сложим геометрически известные силы –  и , затем через начало первого вектор  проведем прямую, параллельную линии действия одной из реакций, например , а через конец последнего вектора – прямую, параллельную линии действия второй неизвестной по модулю реакции  (рис. 2.9). Точка пересечения проведенных прямых дает графическое решение данной задачи. Для определения направления реакций обойдём периметр построенного силового многоугольника, причём направление этого обхода определяется направлением известных сил  и .

Рис. 2.9.

Значения реакций  и  определяются из решения соответствующего многоугольника, в нашем случае четырехугольника abcd. Разобьём его на два треугольника abc и acd.

В равнобедренном треугольнике abc

Применим к треугольнику adc теорему синусов

 откуда

Для того чтобы определить сжаты или растянуты стержни AB и AC, перенесем с силового многоугольника найденные векторы  и  на соответствующие стержни (см. рис. 2), тогда реакция  будет направлена к узлу A, т.е. стержень AB сжат, а реакция  – от узла A, т.е. стержень AС растянут.

Контрольная задача 2.2

Задача 2.2 на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковы. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы  часто удобно разложить её на две составляющие  и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда .

Условие

Жёсткая рама (рис. 2.10 – схемы 1 – 10, табл. 2.2) закреплена в точке  шарнирно, а в точке  прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

Таблица 2.2

Цифры шифра

1 цифра шифра

2 цифра шифра

3 цифра шифра

Схема

F₁

α₁

F₂

α₂

F₃

α₃

F₄

α₄

Точка приложе-ния

Точка приложе-ния

Точка приложе-ния

Точка приложе-ния

H

-

-

-

-

K

-

-

D

E

-

-

K

-

-

-

-

E

-

-

K

H

-

-

D

-

-

-

-

E

-

-

H

-

-

D

E

-

-

K

-

-

-

-

D

-

-

H

H

-

-

D

-

-

-

-

E

K

-

-

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Рис. 2.10. Схемы к задаче 2.2: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5;

е) схема 6; ж) схема 7; з) схема 8; и) схема 9; к) схема 10

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действует пара сил с моментом  и две силы, величины которых, направления и точки приложения указаны в таблице 2.2. (например, в условиях №1 на раму действуют сила  под углом  к горизонтальной оси, приложенная в точке  и сила  под углом  к горизонтальной оси, приложенная в точке  и т.д.).

Определить реакции связей в точках , , вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчётах принять .

Пример решения задачи 2.2

Жёсткая пластина  (рис. 2.11) имеет в точке  неподвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке. Определить реакции в точках  и , вызываемые действующими нагрузками, если , , , , , , .

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси  и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом , натяжение троса  (по модулю ) и реакции связей , ,  (реакцию неподвижной шарнирной опоры  изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

β

P

A

B

C

M

D

β

y

x

X_A

T

γ

Y_A

R_B

F´

F´´

F

a

3a

α

Рис. 2.11.

2. Для получения плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы  относительно точки  воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу  на составляющие  и  ( , ) и учтем, что .

Получим:

, ;

, ;

, .

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: , , . Знаки указывают, что силы  и  имеют направления, противоположенные показанным на рис. 2.11.

Контрольная задача 2.3

Задача 2.3 на равновесие системы твердых тел (конструкции, представляющей составную балку с промежуточными шарнирами), находящихся под действием произвольной плоской системы сил. Для определения реакций связей основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы). При этом все остальные тела системы отбрасываются, а их действие на рассматриваемое тело заменяется соответствующими реакциями.

При рассмотрении равновесия всей системы тел силы взаимодействия между отдельными телами, входящими в систему, являются внутренними взаимно уравновешенными силами и в уравнения равновесия не входят. А при рассмотрении равновесия каждого тела в отдельности (или групп тел системы) силы взаимодействия между отдельными телами становятся реакциями связей, по которым произведено расчленение системы тел. В силу закона равенства действия противодействию реакции связей рассматриваемого тела равны по модулю и противоположны по направлению соответствующим реакциям, действующим на отброшенную часть системы. Исходные данные берут из табл. 2.3.

При решении задач данного типа удобно придерживаться следующего порядка:

1. К конструкции прикладывают все заданные силы.

2. Согласно принципу освобождаемости от связей отбрасывают внешние связи, заменяя соответствующими реакциями.

3. Установив, что число неизвестных реакций превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для системы тел, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние силы соответствующими реакциями, с учетом закона равенства действия противодействию.

4. Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием заданных сил и реакций связей (внешних и внутренних).

5. Сопоставляя число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, что эти числа должны быть равны, если задача является статически определенной.

6. Выбирают наиболее удобные системы координат для каждого тела и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу.

7. Если задача статически определенна, то полученную систему уравнений решают в наиболее удобной последовательности и определяют все неизвестные величины.

Примечание. Некоторые задачи можно решить проще, если вместо уравнений равновесия сил, приложенных к одному из тел, использовать уравнения равновесия сил, приложенных ко всей конструкции.

Таблица 2.3

Цифра шифра

1-я цифра шифра

2-я цифра шифра

3-я цифра шифра

Силы, кН

M, Н м

q, кН/м

Номер схемы (рис. 2.12, 2.13)

P₁

P₂

0,8

1,4

1,2

1,0

0,9

2,0

1,5

1,8

1,6

0,7

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 2.12. Схемы к задаче 2.3: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 2.13. Схемы к задаче 2.3: а) схема 6; б) схема 7; в) схема 8; г) схема 9; д) схема 10

Пример решения задачи 2.3.

Условие. На горизонтальную составную балку с двумя промежуточными шарнирами С и D (рис. 2.14, а) действуют силы P₁=6 кН, P₂=10 кН, пара сил с моментом М=0,025 кН м и распределенная нагрузка интенсивностью q=0,8 кН/м. Найти реакции опор и давления в промежуточных шарнирах балки.

Рис. 2.14.

Решение. Заменяя опоры A и B реакциями, направленными вертикально вверх, а жесткую заделку в точке E двумя составляющими реакции и парой сил с моментом M_E, убеждаемся в том, что число неизвестных реакций равно 5. Для конструкции, находящейся под действием плоской системы сил, можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, для решения данной задачи нужно расчленить конструкцию на отдельные тела по промежуточным шарнирам C и D (см. рис. 2.14, б).

После замены внутренних сил, действующих в шарнирах, соответствующими реакциями, убеждаемся в том, что задача является статически определенной, так как для каждой части можно составить по три уравнения равновесия, всего – 9 уравнений, из которых можно найти 9 неизвестных.

Составим уравнения равновесия для первой части конструкции:

Здесь  – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке ВС. Ее линия действия делит отрезок ВС пополам.

Составим уравнения равновесия для второй части конструкции:

Здесь  – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке СD. Ее линия действия делит отрезок СD пополам.

Кроме того,

Составим уравнения равновесия для третьей части конструкции:

Здесь  – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке DE. Ее линия действия делит отрезок DE пополам.

Кроме того,

В результате получим систему 9 уравнений с 9 неизвестными R_A, R_B, R_Cx, R_Cy, R_Dx, R_Dy, X_E, Y_E, и M_E. Решая эту систему, получим:

Знак минус, полученный в результате расчетов некоторых из реакций, показывает, что действительное направление этих реакций (R_Cy и M_E) противоположно выбранному при решении задачи.

Для проверки результатов решения составим уравнения равновесия для всей конструкции и подставим в них найденные значения реакций связей:

Вычисления показывают, что условия равновесия выполняются с достаточной точностью, следовательно, задача решена правильно.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману