Способы определения координат центра тяжести тел

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 36Следующая ⇒

Пример решения задачи 3.1

Условие. На горизонтальный вал насажано колесо радиусом r₁ = 12 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной l = 20 см, образующий с горизон­тальной плоскостью угол α₂=30°. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F=1,2 кН, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α₁=60° к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса, рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В, если a = b = c = 1,8 м (см. рис. 3.4, схема 10).

Решение. К валу кроме силы Р, действующей на рычаг СD, приложена реакция веревки (сила натяжения) T, численно равная силе тяжести груза F, так как по условию задачи трения в блоке нет (рис. 3.4, а). Направлена эта реакция вдоль веревки в ту сторону, куда веревка тянет блок. Реакции подшипников R_A и R_B, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси Аy, разложим на взаимно перпендикулярные составляющие R_Ax, R_Az, R_Bx и R_Bz. Направление составляющих выбирается произвольно.

Рис. 3.4

Составим уравнения равновесия для вала, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил. Для этого необходимо сделать вид с положительного направления координатных осей, например с оси Ay (рис. 3.4, б).

Из последнего соотношения найдём

Из пятого соотношения определим

Из четвёртого соотношения вычислим

Из третьего соотношения найдём

Из первого соотношения найдём

Модули реакций подшипников:

Для определения направления реакции найдём угол между соответствующей реакцией и осью x:

Глава 4. Трение

4.1. Трение покоя

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемой силой трения скольжения.

Возникновение трения обусловлено, прежде всего, шероховатостью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и наличием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собой довольно сложную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выходит за рамки курса теоретической механики.

В инженерных расчётах обычно исходят из ряда установленных опытным путём закономерностей, которые с достаточной точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое, можно сформулировать следующим образом.

1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), которая может принимать любые значения от нуля до значения F_пр, называемого предельной силой трения.

Приложенная к телу сила трения направления в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть.

2. Предельная сила трения численно равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию:

Статический коэффициент трения  - величина безразмерная; он определяется опытным путём и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, температура, влажность и т.п.).

3. Значение предельной силы трения в довольно широких пределах не зависит от размеров, соприкасающихся при трении поверхностей.

Из первых двух законов следует, что при равновесии  или

Следует подчеркнуть, что значение силы трения при покое определяется неравенством и что, следовательно, это значение может быть любым, но не большим, чем  Чему конкретно равна сила трения, можно установить, только решив соответствующую задачу. Величине  сила трения будет равна лишь тогда, когда действующая на тело сдвигающаяся сила достигает такого значения, что при малейшем её увеличении тело начинает двигаться (скользить). Равновесие, имеющее место, когда сила трения равна , будем называть предельным равновесием.

В заключение приведём значения коэффициента трения  для некоторых материалов: дерево по дереву 0,15 – 0,25; сталь по льду 0,027.

Более подробные сведения даются в соответствующих справочниках.

Все изложенное выше относилось к трению скольжения при покое.

4.2. Трение скольжения

При движении сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальное давление:

Динамический коэффициент трения скольжения  также является величиной безразмерной и определяется опытным путём. Значение коэффициента  зависит не только от материала и состояния поверхностей, но и в некоторой степени от скорости движущихся тел. В большинстве случаев с увеличением скорости коэффициент  сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.

Если к твёрдому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности приложить горизонтальную силу , то действие этой силы вызовет появление силы сцепления  = - , представляющей силу противодействия в плоскости смещению тела (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Определение силы трения

Благодаря сцеплению тело останется в покое при изменении модуля силы F от 0 до значения Fmax . Это значит, что модуль силы сцепления тоже измениться от 0 до Fсц . Модуль Fсц , как показывает опыт, пропорционален нормальному давлению N тела на плоскость. У нас N=G, тогда

Коэффициент пропорциональности   является отвлечённым числом и называется коэффициент сцепления.

fсц зависит от материала и физического состояния соприкосновения тел и определяется экспериментально, его величина обычно не превышает 1.

Направление  противоположно направленно того движения, которое возникло бы под действием приложенных к телу сил при отсутствии сцепления.

При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную направлению скорости тела. Модуль силы трения пропорционален нормальному давлению N:                                  

    f – коэффициент трения скольжения, определяется опытным путём.

Коэффициент трения отвлечённая величина, зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости (V) движения тела и удельного давления. В элементарных расчётах зависимость f от V и удельного давления часто не учитывается.

Экспериментально установлено, что

Реакция  реальной (шероховатой) поверхности, в отличие от идеальной (гладкой) поверхности, имеет две составляющие: нормальную реакцию   и силу сцепления  (или силу трения  при движении). Угол φсц  в предельном состоянии называется углом сцепления

Рис. 4.2. Определение угла сцепления

или           

Угол, тангенс которого равен коэффициенту трения, называется углом трения.               

Конус с вершиной в точке касания тел, определяющая которого составляет угол сцепления с нормальной поверхностью тел, называется конусом сцепления. Поверхность конуса сцепления представляет собой место максимальных реакций опорной поверхности.

Пространство внутри конуса представляет собой совокупность возможных положений реакций опорной поверхности в состоянии покоя.

Пусть к покоящемуся телу приложена система сил (в том числе вес тела), линия действия равнодействующей,  которая лежит внутри конуса. Эти силы не приведут тело в движении, т.к. сила  будет уравновешена реакцией поверхности (составляющая сил вдоль поверхности будет меньше ).

Рассматривая равновесие твёрдых тел, мы пренебрегали трением, все связи принимали за абсолютно гладкие. Если связью является поверхность, то реакция её направлялась перпендикулярно к ней. Это соответствовало предположению, что гладкая поверхность препятствует перемещению, что гладкая поверхность, то реакция её направлялась перпендикулярно к ней. Это соответствовало предположению, что гладкая поверхность препятствует перемещению данного твёрдого тела только в направлении, перпендикулярном к ней, и не мешает ему перемещаться по самой поверхности.

В действительности же, когда два реальных твёрдых тела находятся в соприкосновении, взаимное касание их происходит не в одной точке, а по некоторой поверхности (рис. 4.3). Как бы гладкой не казалось поверхность, она содержит большое число микронеровностей (видных под большим увеличением).

Рис. 4.3.Поверхности соприкосновения двух твёрдых тел

Если тело А двигать так, чтобы одни и те же площадки его поверхности соприкасались с различными площадками другого тела В, то появиться сопротивление движению. Это сопротивление называется трением скольжения.

Шероховатость трущихся тел не единственная причина трения скольжения. Если наложить одну на другую две хорошо отшлифованные пластинки из металла или стекла, то придётся приложить большое усилие, чтобы сдвинуть одну относительно другой. Здесь причиной трения скольжения являются силы межмолекулярного сцепления, достигающие иногда очень больших величин. Поэтому трение скольжения можно объяснить двумя основными причинами: шероховатость поверхностей трущихся тел и молекулярным взаимодействием частиц трущихся тел. Вообще же трение скольжения является сложным физико-химическим явлением.

Трение скольжения играет в природе и технике огромную роль, в одних случаях полезную, а в других вредную. Вызывая износ трущихся поверхностей, различных деталей машин, трение уменьшает долговечность их, сокращает срок службы машин. С другой стороны, без трения невозможна работа винтовых соединений, различных зажимов и т.п., невозможно движение автомобилей, поездов и самих людей. Для уменьшения трения применяют смазку трущихся поверхностей. Существует жидкое трение. Законы жидкостного трения открыты в 1883 г. Русским учёным Н. Петровым. Мы будем рассматривать только “сухое” трение.

Сухое трение издавна являлось объектом исследования учёных. Ещё Леонардо да Винчи проводил опыты по установлению законов сухого трения, но чёткой формулировки этих законов он не дал.

Законы сухого трения на основе большого числа опытов были установлены Амантоном в 1699 г., чётко сформулированы в 1781 г. Французским физиком Кулоном и уточнены в 1815 г. Мореном. Эти законы подвергались опытной проверке и сравнительно хорошо согласуются с практикой.

Различают трение скольжения при покое тел и при их движении. Рассмотрим трение при покое тел.

Морен показывает, что при стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления) величина которой может принимать любые значения от 0 до F_пр (предельная сила трения). Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие силы стремятся сдвинуть тело.

Величина предельной силы трения равна

,                             

где f₀ – статический коэффициент трения; отвлеченное число. Определяется опытным путём и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния поверхностей, N – нормальная реакция.

Величина F_пр в широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей.

Объединяя первый и второй законы, получаем, что при равновесии сила трения покоя (сила сцепления).

.                                      

Величина f₀:   - дерево по дереву;

                   - металл по металлу;

                      -сталь по льду.

4.3. Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Вследствие деформации тел касание происходит по некоторой площадке АН, а нормальная реакции N оказывается, смещена в сторону на величину k называемую коэффициент трения качения.

Качение начинается тогда, когда движущая сила, приложенная к оси катка Q > Q_пр.  

Q_пр = ( k/R)N       

 Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f₀. Этим объясняется то, что в технике всегда стремятся заменить скольжение качением.

Рис. 4.4.Трение качения

Глава 5. Центр тяжести

5.1. Центр параллельных сил

Точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

5.2. Центр тяжести твёрдого тела

Центром тяжести твёрдого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Центр тяжести однородного тела определяется как центр тяжести соответствующего объёма, площади или линии.

Рис. 5.1. Определение центра тяжести плоской фигуры

Центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы.

Точку С, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести объёма V.

Точка М, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести площади S.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов