Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 33 из 36Следующая ⇒

Рис. 11.1.

Правило знаков – как для момента силы относительно оси.

Для системы: главным моментом количества движения (главным кинетическим моментом) системы относительно оси называется скалярная величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек системы, относительно той же оси.

Найдём кинетический момент твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω (Рис. 11.1.).

Для точки М_s:  = , где , но ,

Поэтому   .

Тогда = .

Величина  называется моментом инерции тела относительно оси Z.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси является характеристикой меры инертности тела при вращательном движении вокруг этой оси.

Кинетический момент твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции относительно этой оси на угловую скорость тела.

Теорема для точки: Производная по времени от кинетического момента точки относительно неподвижной оси равна сумме моментов всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.

Теорема для системы: Производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси равна главному моменту внешних сил относительно той же оси.

Доказательство: Пусть на некоторую точку системы действуют внешние и внутренние силы. Обозначим равнодействующую внешних сил через , а равнодействующую внутренних сил через .

На основании теоремы для точки:

Просуммируем для всех точек системы:

Но, ; тогда 

Дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела вокруг неподвижно оси. Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси Z под действием системы сил , , ….. . Освободим тело от связей, заменив их реакциями ,  .

Для твёрдого тела вращающегося вокруг оси Z:

 , т. к. реакции ,   пересекают ось Z, то их момент относительно этой оси равен нулю.

Главный момент внешних сил, приложенных к телу, относительно оси вращения будем называть вращающим моментом.

Обозначим его через , тогда = .

На основании того, что

 или . Но ,

Тогда  - дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Частные случаи:

1) Если , то, , ;

2) Если , то , ускоренное вращение;

3) Если , то , замедленное вращение.

Видно, что чем больше  при одном и том же моменте, тем меньше  и наоборот, т.е. момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращении вокруг этой оси.

Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат её скорости, т.е.

.

Кинетической энергией системы Т называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, т.е.

.

Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, будем называть механической системой.

При поступательном движении твёрдого тела:

,

где М – масса твёрдого тела;

V – общая скорость для всех точек тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси: .

При плоском движении твёрдого тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей центр масс и перпендикулярной плоскости движения, т.е.

s w:ascii="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t>РїРѕСЃС‚</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="RU"/></w:rPr><m:t> </m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> + ;

где  – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела (С) и перпендикулярной плоскости движения тела.

Работа силы. Элементарная работа  силы равна скалярному произведению силы  на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы

.

Аналитическое выражение элементарной работы:

.

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точки:

.

Некоторые случаи вычисления работы.

Работа сил тяжести, действующих на систему:

,

где P – вес системы,

h – высота подъёма.

Работа сил, приложенных к вращающемуся телу:

,

где Mz – момент силы относительно оси вращения,

dφ – элементарный угол поворота.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

В интегральной форме: Изменение кинетической энергии системы при некотором её перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил

.

В дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующий на систему

.

Если система состоит из твёрдых тел, соединённых между собой шарнирами без трения, нерастяжимыми идеально гибкими нитями, то работа внутренних сил таких шарниров и нитей равно нулю, т.е.

= .

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология