Глава 11. Общие теоремы динамики точки и системы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 31 из 36Следующая ⇒

Условия

1. Тяжёлая материальная точка М брошена под углом a к горизонту со скоростью v₀. В начальный момент времени точка находилась в положении М₀. Пренебрегая сопротивлением среды, определить уравнения движения точки в заданной системе координат (см. рис. 10.1, схемы 1-4).

2. Тело М весом Р брошено вертикально вверх (см. рис. 10.1, схема 5) или вниз (см. рис. 10.1, схема 6) со скоростью v₀. При движении на тело действует сила ветра F. В начальный момент тело находилось в положении М_о. Определить уравнение движения, приняв его за материальную точку, в заданной системе координат (см. рис. 10.1, схемы 5, 6).

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Рис. 10.1. Схемы к задаче 10.1: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3; г) схема 4; д) схема 5;

е) схема 6; ж) схема 7; з) схема 8; и) схема 9; к) схема 10

3. Груз весом Р движется прямолинейно по горизонтальной плоскости. На груз действует сила F, составляющая с горизонталью угол a. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f. В начальный момент времени груз находился в положении М_о на расстоянии a от начала координат и имел скорость v₀. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (см. рис. 10.1, схемы 7, 8).

4. Груз весом Р движется вверх (см. рис. 10.1, схема 9) или вниз (см. рис. 10.1, схема 10) по шероховатой наклонной плоскости. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f. В начальный момент груз находился в положении М_о на расстоянии a от начала координат и имел скорость v₀. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (см. рис. 10.1, схемы 9, 10).

Примечание. Для схем 8 и 9 определить уравнение движения груза на первом этапе, когда движение происходит в направлении начальной скорости.

Пример решения задачи 10.1.

Условие. Груз весом Р движется вниз по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость . В начальный момент груз находился в положении  на расстоянии а=9 м от начала координат и имел скорость . Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (рис. 10.2).

Рис. 10.2.

Решение. 1. Пусть тело в произвольный момент времени t занимает положение М на наклонной плоскости. Освободим тело от связи (шероховатой наклонной плоскости), заменив её действие нормальной составляющей реакции N и силой трения . Тогда тело будет двигаться под действием системы трёх сил ( ).

2. Примем тело за материальную точку. Проектируя основное уравнение динамики точки на оси декартовых координат Оx и Оy (ось Оx совпадает с направлением движения точки), получим два дифференциальных уравнения:

Здесь m – масса точки;  – проекции ускорения точки на соответствующие оси.

Так как тело движется прямолинейно вдоль оси Оx, то проекция ускорения на ось Оy равна нулю, следовательно, уравнение (10.2) примет вид .

Сила трения по закону Кулона равна . С учётом этого выражения дифференциальное уравнение (10.1) примет следующий вид:

.

После замены , где  – ускорение свободного падения тела, и очевидных преобразований получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Для понижения порядка уравнения произведём замену , получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

.

Разделив переменные, проинтегрируем дифференциальное уравнение с учётом начальных условий (при t=0, v_x=v₀):

Произведём замену для понижения порядка уравнения  и, разделив переменные, проинтегрируем дифференциальное уравнение второй раз с учётом начальных условий (при t=0 x=x₀=a):

Подставив в соотношение (10.4) значения заданных величин, получим окончательно следующее уравнение движения груза:

Решение второй основной задачи динамики в общем случае невозможно. Поэтому возникает вопрос о других путях исследования движения точки и особенно системы.

Одним из путей решения этой проблемы является применение общих теорем динамики, которые не дают полного решения о движении каждой точки механической системы, но позволяют описать движение системы в целом.

Общие теоремы динамики связывают меры механического движения материальной точки или системы с силами, вызывающими изменение этих мер. Что это – меры механического движения?

     – количество движения;

     – кинетическая энергия;

    – момент количества движения относительно оси.

    В соответствии с этими мерами есть три общие теоремы динамики для точки и три общие теоремы динамики для системы.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров