Решение основной задачи динамики

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 28 из 36Следующая ⇒

10.2. Две задачи динамики точки

В динамике решаются две основные задачи:

1. по заданному движению точки или системы определить силы, производящие это движение;

2. по заданным силам, действующим на точку или систему, определить движение этих объектов.

Когда мы говорим, что задано движение точки, то предполагаем, что движение задано одним из кинематических способов (векторным, координатным или естественным). Когда мы определяем движение точки по заданным силам, то это значит, что мы стремимся выразить движение точки одним из кинематических способов, т.е. ищем координаты точки как функции времени, или закон движения точки по траектории и т.д.

Решение первой основной задачи динамики точки.

Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т.е. заданы .

Дифференцируя дважды по t и подставляя значения  в уравнение найдём проекции равнодействующей силы на оси координат:

.

Модуль и направляющие конусы равнодействующей найдём по известным формулам:

.

Если движение задано естественным способом, т.е. заданы траектория, начало отсчёта и направления положительного отсчёта дуговой координаты и закон движения по траектории S=f(t), то равнодействующую силу найдём при помощи соотношений.

Вычисляем:

,

где ρ – по формулам из математики для уравнения известной траектории.

После подстановки найденных значений в уравнения, определим проекции равнодействующей на главную нормаль и касательную. Модуль и направление равнодействующей найдём по формулам:

,

,

где α – угол, образованный равнодействующей с положительным направлением касательной к траектории точки.

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки. Пусть на точку с массой m действует система сил . Основное уравнение динамики точки запишется в виде:

,

где - равнодействующая всех [активных] сил [и реакций связей].

Спроецируем обе части этого векторного равенства на оси декартовых координат:

Выразив проекции ускорения  соответственно через , получим:

.

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Если точка движения в плоскости, то, взяв координатные оси Ox и Oy в плоскости движения точки, получим:

Если точка совершает прямолинейное движение, то, приняв прямую, по которой движется точка, за ось Ox, получим:

.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения материальной точки.

При решении задач часто пользуются и естественной системой координат. Для получения дифференциальных уравнений в проекциях на оси естественной системы спроецируем обе части основного уравнения динамики точки на касательную, главную нормаль и бинормаль:

.

Проекция ускорения на бинормаль равна нулю, а проекции на касательную и главную нормаль равны:

    и   , поэтому

=   , =  , 0 =

В этих уравнениях , и  - проекции равнодействующей всех сил, приложенных к точке, на касательную, главную нормаль и бинормаль.

Пусть на точку массой m действуют силы. Нужно найти движение точки, т.е. нужно определить координаты точки как функции времени.

Вторая задача динамики, как и первая, решается с помощью дифференциальных уравнений движения точки.

Как уже говорилось, силы, действующие на точку, могут быть постоянными и переменными. В общем случае равнодействующая их  будет зависеть от времени координат точки и скорости её. Поэтому проекции равнодействующей на оси координат будут функциями , а уравнения примут вид:

Для нахождения кинематических уравнений движения точки нужно проинтегрировать эту систему трёх совместных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если решается задача о движении точки в плоскости, то нужно проинтегрировать систему двух дифференциальных уравнений

В случае прямолинейного движения точки решение задачи сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка

Как известно из математики, общее решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две постоянные интегрирования (произвольные постоянные).

После интегрирования системы трёх дифференциальных уравнений второго порядка получим общее решение, содержащее шесть произвольных постоянных в следующем виде:

В случае движения точки в плоскости OXY получим x и y в виде функций от t и четырёх произвольных постоянных:

В случае прямолинейного движения вдоль оси OX получим:

Выписанные соотношения являются общими интегралами уравнений.

Таким образом, мы получаем бесконечно много решений, т.е. семейство траекторий, зависящее от шести параметров при движении точки в пространстве, от четырёх – при движении в плоскости, от двух – при движении по прямой.

Чтобы выбрать из семейства одну определенную траекторию, следует придать параметрам C₁ – C₆ конкретные значения. Их находят с помощью так называемых начальных условий.

Обычно задаётся в некоторый момент времени, положение и скорость точки, так, при t=t₀ (t₀ часто берут равным нулю), задаются начальные координаты x₀, y₀, z₀ и проекции начальной скорости на оси координат, т.е. . Пользуясь начальными условиями, находят все произвольные постоянные интегрирования, затем подставляют их в общие интегралы и таким образом определяют движение точки, соответствующее данным начальным условиям.

Если решается задача о движении точки в плоскости OXY, то произвольных постоянных интегрирования будет четыре и для определения их задаются начальные условия в виде .

При прямолинейном движении точки для определения постоянных C₁ и C₂ задаются начальные условия в виде .

Приложенные к точке силы и начальные условия полностью определяют её движение.

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений является в общем случае очень трудной. Точное решение её возможно лишь в простейших случаях, когда силы, действующие на точку, сравнительно просто зависят только от времени, или от скорости, или от координат точки.

Порядок решения второй задачи динамики точки:

1. Выбрать систему отсчёта. Удобно начало координат брать в начальном положении точки (в момент t=t₀).

2. Изобразить на чертеже движущуюся точку в произвольный момент.

3. Изобразить силы, действующие на точку (активные и реакции), обозначив их буквами и показав в виде векторов, приложенных к точке.

4. Составить дифференциальные уравнения движения точки.

5. Записать начальные условия движения.

6. Проинтегрировать дифференциальные уравнения. По начальным условиям определить постоянные интегрирования.

7. При решении в общем виде произвести проверку ответа на размерность.

8. Найти требуемые величины, произвести исследования решения.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов