Способы задания движения точки

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 36Следующая ⇒

Глава 6. Кинематика точки

6.1. Способы задания движения точки

Существует 3 способа задания движения точки: 1 – координатный; 2 – естественный; 3 – векторный.

Координатный способ. В данной системе отсчёта Oxyz заданы координаты движущейся точки как функции времени: x = ; y = ; z = ; - называется уравнением движения точки заданными координатным способом (рис. 6.1.)

Рис. 6.1. Способы задания движения точки

Естественный способ задания движения точки (рис. 6.2). При этом способе заданы: а) траектория движения точки; б) начало отсчёта и направление положительного отсчёта дуговой координаты S (т.е. длины дуги); в) закон движения по траектории S=f(t).

Рис. 6.2. Естественный способ задания движения точки

Скорость определяется так:  =  , где  - единичный вектор (орт), направленный по касательной к траектории движения. Если >0, то вектор скорости направлен в сторону увеличения S, если <0, то в сторону уменьшения дуговой координаты.

Векторный способ. В заданной системе отсчёта известен закон изменения радиуса-вектора точки (рис. 6.1).

Поскольку , то x, y, z – функция времени.

6.2. Определение скорости и ускорения точки

Вектор скорости точки. Пусть в момент времени t положение точки М определяется радиусом-вектором  (рис. 6.3), а в момент времени t₁ точка займёт положение М₁, определяемое радиусом-вектором r₁. За промежуток времени Δt = t₁ – t  перемещение точки определяется вектором . Этот вектор направлен по хорде при криволинейном движении и вдоль самой траектории, если движение прямолинейное. Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени называется средней скоростью точки за данный промежуток времени.

Рис. 6.3. Определение скорости точки

Чем меньше промежуток времени, тем точнее значение средней скорости, поэтому скоростью точки в данный момент времени можно считать предел отношения  при Δt → 0, то есть первую производную от радиус-вектора по времени

ВЫВОД: Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Единица измерения скорости – м/с.

Предельным направлением секущей (хорды) является касательная, поэтому вектор скорости при Δt → 0 направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен вдоль прямой, по которой движется точка.

При естественном способе задания движения s = f (t) скорость определится как первая производная от расстояния по времени

Вектор ускорения точки. Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение скорости с течением времени. Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость , а в момент t₁ приходит в положение М₁ и имеет скорость . Тогда за промежуток времени Δt = t₁ – t  скорость точки получает приращение .

Рис. 6.4. Определение ускорения точки

Величину вектора Δ определим из параллелограмма, как разность диагонали и одной из сторон. Приращение скорости Δ за соответствующий промежуток времени Δt - это среднее ускорение точки М. Если Δt→0, то ускорение точки в данный момент времени – это первая производная от скорости точки по времени

или,   

ВЫВОД: вектор ускорения данной точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Единица измерения ускорения – м/с².

Если точка движется по плоской кривой линии, то вектор ускорения лежит в этой же плоскости и направлен в сторону вогнутости этой кривой. При прямолинейном движении вектор ускорения направлен вдоль прямой, по которой движется точка.

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения. Из математики известно, что проекция производной от вектора на ось равна производной от проекции вектора на ту же ось. Скорость точки – это первая производная от вектора по времени. Если вместо вектора движение задать его проекциями на оси, то есть координатами точки x, y, z, проекции вектора скорости – это первые производные от координат точки по времени

 или

Зная проекции скорости, можно найти ее модуль и направление, то есть углы между вектором скорости и координатными осями

;

cos α = V_x /V ;  cos β = V_y /V ;   cos γ = V_z /V ;

ВЫВОД: Проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Аналогичным образом можно определить ускорение точки по заданным координатам. Ускорение точки – это первая производная от скорости  или вторая производная от радиуса-вектора точки. Если векторы заменить проекциями на оси, то можно записать или .

Зная проекции ускорения, можно найти его модуль и направление, то есть углы между вектором скорости и координатными осями

 ;

cos α₁ = a_x /a ;  cos β₁ = a_y /a;   cos γ ₁= a_z /a;

ВЫВОД: Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Понятие о кривизне кривых линий. Для точки, движущейся по криволинейной траектории, обозначим два соседних положения М и М₁ и проведём касательные в этих положениях. Угол между этими касательными называется углом смежности Δφ.

Рис. 6.5. Определение кривизны кривых линий

При бесконечно малых значениях длины дуги Δs радиус кривизны r в точках М и М₁  можно считать одинаковым. Таким образом, кривизна k кривой линии в данной точке – это предел отношения угла смежности к соответствующей длине дуги при Δs→0

; Δs = R∙ Δφ

Для окружности радиуса R длина дуги определяется по формуле

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одинакова и равна

k = 1 / R.                                                         

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус r такой окружности называется радиусом кривизны, а центр этой окружности – центром кривизны.

ВЫВОД: кривизна кривой в данной точке есть величина, обратная радиусу кривизны в этой точке

k = 1 / r .

Очевидно, что кривизна прямой линии равна нулю, а радиус кривизны равен бесконечности.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов