Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
46)Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.
Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа.
Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній  необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі  , але  для деяких номерів  і  , то застосувавши невироджене лінійне перетворення змінних  при  , отримаємо, що член  квадратичної форми набуде вигляду  , це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по змінній  і  . Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься в  при  . Таким чином, в квадратичній форма  є члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній формі  є член з квадратом змінної  , тобто  . Згрупуємо в  всі члени, які містять  , і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що 
де  – квадратична форма від змінних  .
Введемо нові змінні  ,  ,…,  . Для нових змінних квадратична форма  набуде вигляд  . З квадратичною формою  можна поступити аналогічно. Через  крок ми прийдемо до канонічної форми  . Нехай  –матриця послідовно виконаних відображень змінних;  –матриця квадратичної форми,  –діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формула  набуває вигляд  .
Нехай квадратична форма  зведена до канонічного вигляду
Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних  . В результаті квадратична форма набуде вигляду  . Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.
|
