Обчислення площі паралелограма, побудованого на двох неколінеарних векторах. Умова колінеарності двох векторів.

.

Вектори aта bназиваються колінеарними (позначається цей

факт так: a⇕ b), якщо вони лежать на паралельних прямих

17)Мішаний добуток, його властивості та обчислення.

Нехай дані три вектори , , . Знайдемо векторний добуток і домножимо його скалярно на третій вектор :

.

Таке множення векторів називається векторно – скалярним, або мішаним добутком трьох векторів. В результаті цього множення отримується число. Покажем, що коли вектори , , некомпланарні, то це число рівне об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , взятому із знаком плюс, якщо вектори , , утворюють праву трійку векторів (в випадку правої системи координат це означає, що, якщо дивитись із кінця вектора , то найкоротший поворот від вектора до вектора відбувається проти годинникової стрілки, при цьому припускається, що вектори , , мають спільний початок). Знак мінус ставиться в протилежному випадку.

Побудуємо паралелепіпед із сторонами , , . Побудуєм також векторний добуток , який позначимо через d .

Тоді, згідно з означенням, . Як відомо, скалярний добуток можна виразити через проекції векторів, звідки

.

Тут величина рівна площі S паралелограма, побудованого на векторах і . Величина рівна (зі знаком плюс або мінус) висоті h побудованого паралелепіпеда. Звідси випливає, що мішаний добуток рівний (з тим чи іншим знаком) об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і .

Іншими словами, абсолютна величина мішаного добутку рівна об’єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах , і :

.