Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Закон інерції для квадратичних форм.
Теорема1(закон інерції квадратичної форми):Число доданків з додатними (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду.Доведення: Нехай форма  з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду  (***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність  .Нехай  . Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор  , що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координати  даного вектора рівні нулю:  (****). Так як  отримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат  , а координати  з допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат , то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координат шуканого вектора  в базисі  .Так як , то число однорідних рівнянь (****) менше n, тому система (****) має ненульовий розв’язок відносно . Тому, якщо , то існує ненульовий вектор , для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо:  .Дана рівність має місце, при  і  , що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при  .Отже,  .Теорема доведена.
45)Сигнатура квадратичної форми - числова характеристика квадратичної форми. Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути наведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду
Різниця  між числом позитивних і негативних членів в цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Числа p і q сигнатури не залежать від способів приведення форми до канонічного виду (закон інерції Сильвестра).
Сигнатуру квадратичної форми також записують у вигляді пари чисел  або у вигляді  з відповідним числом плюсів і мінусів.
Приклад. Квадратична форма від двох змінних  може бути приведена до канонічного вигляду  наприклад, за допомогою лінійної заміни змінних   Сигнатура цієї квадратичної форми дорівнює нулю або може бути записана у вигляді  або у вигляді 
|
