Канонічний вигляд квадратичної форми.
40)Канонічний вигляд квадратичної форми.
Нехай  тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:
 (4.21)
Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).
Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.
Теорема 2. (закон інерції квадратичних форм). Число додатних і від’ємних коефіцієнтів  в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису, в якому вона приведена до канонічного вигляду.
41)Означення знаковизначених квадратичних форм.
Необхідна та достатня умова знаковизначеності квадратичної форми.
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була знаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб або додатній індекс інерції p, або від’ємниї індекс інерції q дорівнював розмірності n простору V. При цьому, якшо p=n, то форма додатно визначена, якщо q=n, то форма від’ємно визначена.
Критерій Сільвестра знаковизначеності квадратичної форми.
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності:  .
Для того, щоби квадратична форма A(x,x), що задана у векторному просторі V, була від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувались, при чому  .
|
