Лінійні операції над векторами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 24Следующая ⇒

Лінійні операції над векторами

Сума двох векторів:

Різниця двох векторів

Множення вектора  на скаляр  (число ): ,

Властивості лінійних операцій над векторами:

13)Скалярний добуткомдвох векторів a и b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними.

Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні.

Властивості:

1. Скалярний добуток підлягає перемістивному закону, тобто для любих векторів і .

2. Скалярний добуток підлягає сполучному закону відносно скалярного множника, тобто для будь-яких векторів і і будь-якого числа .

3. Скалярний добуток підлягає розподільному закону, тобто для будь-яких векторів , , .

4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його модуля. Домножимо скалярно вектор на вектор :

5. якщо , навпаки, , якщо і .

14)Довжина вектора та відстань між двома відрізками.

 Довжина напрямленого відрізку визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора. Для позначення модуля вектора використовують дві вертикальні лінії зліва та справа |AB|.

Вектор повністю визначається своїми початком і кінцем. Він може бути, звичайно, заданий також початком, або, іншими словами, точкою прикладання, довжиною і напрямком. Однак в багатьох випадках точка прикладання (початок) вектора не має значення - мають значення лише довжина вектора та його напрямок. Такі вектори називаються вільними векторами. Вільні вектори позначають одною малою латинською буквою, наприклад, . Оскільки точка прикладання вільного вектора не має значення, то такий вектор можна переносити в будь-яку точку простору, зберігаючи при цьому його довжину і напрямок.

Вектор , початок і кінець якого співпадають, називають нульовим. Його модуль рівний нулю. Нульовий вектор не має певного напрямку. Якщо вектори і рівні по модулю, паралельні, але направлені в протилежні сторони; такі вектори називаються взаємно або просто протилежними. Вектор, протилежний вектору , позначають через .

15. Векторним добутком вектора на вектор називається такий третій вектор , довжина якого чисельно рівна площі паралелограма, побудованого на векторах і , а напрямок перпендикулярний до площини паралелограма, побудованого на даних векторах, причому вектор направлений так, що із кінця вектора видно, що коли дивитись з кінця вектора , то поворот від до на найменший кут відбуваєть­ся проти годинникової стрілки (рис.7).

Рис.7

Векторний добуток заданих векторів і позначається .

Оскільки площа паралелограма, побудованого на векторах і рівна добутку довжин цих векторів і синуса кута між ними, то

.

Розглянемо основні властивості векторного добутку векторів і .

1. Відмітимо перш за все, що для будь-яких векторів і .

Отже, векторний добуток не підлягає перемістивному закону. Розглянемо, як приклад, векторні добутки ортів координатних осей.

(Оскільки кут між векторами рівний нулю і за (1) ).

Добуток ортів, що слідують в природному порядку ( перед перед і т.д.), згідно з означенням векторного добутку, дає третій орт:

Якщо ж природний порядок множників порушений, то, як наслідок, отримуємо:

. (2)

2. Векторний добуток має властивість

.

3. Векторний добуток підлягає також розподільному закону, тобто

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии