Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Исключительная роль V постулата "Нагал" Евклида состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Около 1826 года Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость этого утверждения от остальных аксиом геометрии.
Этот факт является историческим моментом в развитии современной Теории оснований математики.
Следующий исторический шаг, совершенный Лобачевским же, состоял в построении непротиворечивой Теории, основанной на принятии утверждения, противоположного постулату параллельности Евклида.
Следующий шаг – принятие математиками этой "мыслимой" геометрии и математическое исследование отношений между Теорией и ее моделью. Этот шаг бы проделан благодаря трудам А. Пуанкаре, Феликса Христиана Клейна (1842-1925), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ века.
Эти геометрические открытия второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом исследования аксиоматических начал всей математики.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843-1918) предпринял попытку аксиоматического построения Теории множеств. Исследование противоречий языкового характера , с которыми столкнулись математики в его "наивной" Теории множеств привели в современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. Наконец, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного математического формализма, названного в математике Гильбертовым формализмом. В современных приложениях геометрии используется аксиоматики А. Вейля арифметической модели евклидова пространства, см. §4.
|
