Аксиома связи сложения и умножения.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Аксиомы операции умножения.
Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:
5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q
х .1 = 1. х = х
6. Для любого элемента х Î Q , (х  0) существует обратный элемент х-1 0 такой же, что
х.х -1 = х-1. х = 1
7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q
х . (у . z) = (х . у) . z
8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q
х . у = у. x
Аксиома связи сложения и умножения.
9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q
(х+у) . z = x . z+у . z
Аксиомы порядка.
Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения  . При этом выполняются следующие условия:
10. (х у)L (у x)  x=у
11. (х у)L (у z)  x  z
12. Для любых х, у Î Q либо х< у, либо у < x .
Отношение < называется строгим неравенством,
Отношение = называется равенством элементов из Q.
Аксиома связи сложения и порядка.
13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z
Аксиома связи умножения и порядка.
14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)
Аксиома непрерывности Архимеда.
15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.
Следствие.
Аксиомы множества Q позволяют:
1. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).
2. Определить алгоритмы реализации операций ±, ´, :, £ в систематической записи рациональных чисел.
|
