Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Замечание 1.
Понятие «модель» и «структура» часто используются как понятие «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §§3-5. Это не вступает в противоречие с точными определениями этих понятий, приведенными в этом §6.
6.4 Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
Пусть R(T) - реализация некоторой системы аксиом Т. Рассмотрим подробнее, что означает реализация R  аксиоматической структуры  . Согласно определению реализации, данному в предыдущем П.6.3, объект R содержит:
1. некоторые объекты Ri (Mi), являющиеся реализациями базовых множеств M1…, Mm так, что существует взаимно-однозначное соответствие xi  ri(xi) между элементами xi  Mi и элементами ri Ri, i = 1,2,…,m;
2. некоторые отношения pi(r1,…, rm), представляющие или отражающие отношения Ði(x1,…,xm) соответствующих элементов xi ri(xi);
3. некоторые объекты R(T), представляющие или отражающие в виде некоторых отношений утверждения в системе аксиом Т; (обычно R(T) называют реализацией системы аксиом).
Рассмотрим пример.
Пусть R2 - арифметическая модель евклидовой плоскости, Тогда базовое множество М1 - это все точки M R2, реализующиеся как упорядоченные числовые пары (x,y). Множество H2 - это множество всех прямых l  R2, реализующихся уравнениями вида ax+by+c = 0. Отношение Ð1(M,l)  (M l) - точка М принадлежит прямой l реализуется свойством P1: пара (x,y) удовлетворяет уравнению ax+by+c = 0, и т.д.
|
