Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 35 из 43Следующая ⇒

Вывод 1.

Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно однозначное соответствие x_i r_i(x_i) между элементами x_i базовых множеств M_i и объектами r_i реализаций R_i(M_i) , базовых множеств. При этом отношения Ð_i(x₁,…,x_m) между элементами x_i M_i, заданные в системе аксиом Т представляются или реализуются некоторыми отношениями P_i(r_i,…, r_m) между соответствующими объектами r_i(x_i).

Вывод 2.

Всякое утверждение А теории Т получается логическим заключением (выводом) и в реализации R(T) находится соответствующее отношение между объектами, отражающее утверждение А.

Определение.

Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория Т  и аксиоматическая структура определенные вне какой-либо реализации называются абстрактными или формальными системой аксиом, теорий или структурой соответственно.

Если существует реализация R(T) этой системы, то система Т, теория Т  и структурой называются содержательными.

Классическим примером формальной теории является геометрия Лобачевского. Эта мыслимая геометрия долгое время не воспринималась однозначно как аксиоматическая теория, пока не были найдены ее реализации, например, реализация Пуанкаре L₂, построенная в п.6. Таким образом, исторический опыт с геометрией Лобачевского имеет "хороший конец": были найдены реализации и все вопросы были сняты в рамках этих реализаций.

Чтобы использовать реализации R(T) для исследования аксиоматических систем Т введем понятие изоморфизма реализаций (структур).

6.5 Изоморфизм.

Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R^'(T). Тогда, согласно выводу 1, п.6.4, между объектами R_i и R^'_i реализующими базовые множества М_i, устанавливается взаимно-однозначное соответсвтвие по схеме

            (2)

Что можно сказать о соответствии между реализациями соотношений Р_i в R_i  и реализациями отношений P^'_i в R^'_i ? Рассмотрим два примера.

Пример 1.

Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию без аксиомы параллельности). Мы имеем две реализации этой планиметрии:

(1) арифметическая модель R² (евклидовой плоскости);

(2) модель Пуанкаре L₂ (плоскости Лобачевского). Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками М  R²  и точками N  L₂, а также между прямыми l R² и прямыми a L₂. В то же время не всем отношениям между точками и прямыми в L₂ можно найти соответствующие отношения в R². Например, отношение Ð(a₁, a₂) прямые a₁ и a₂ не параллельны и не пересекаются  может выполняться в L₂ и не имеет аналога в R². (Другие неевклидовы отношения между точками и прямыми на плоскости L₂ см. в п. 5.2 §5).

Пример 2.

Пусть e² - геометрическая модель направленных отрезков (выполненная, например, карандашом на бумаге или реализованная на мониторе компьютера). Пусть Е²- арифметическая модель векторного пространства. Операция откладывания вектора, указанная в модели Вейтеля, п.4.1, §4, устанавливает взаимно-однозначное отображение : (x,y) модели e²  на модель Е² (x,y). При этом, отображение  сохраняет все определенные в векторной структуре отношения между соответствующими векторами  и ( )=(x,y).

Определение изоморфизма.

Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:

1. Существует взаимно-однозначное соответствие (2) между реализациями R_i(M_i) и R^'_i(M_i) базовых множеств M_i, i=1,2,…, m;

2. Отображение (2) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми свойствами P^'_i(r^'₁,…,r^'_m) и P_i(r₁,…, r_m) представляющими в моделях R^' и R^' свойства Ð_i(x₁,…, x_m) соответствующих при отображении (2) элементов r^'_i x_i r_i .

Само отображение (2), при этом называется как изоморфизмом моделей или реализацией R(T) и R^'(T), так и изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R  и T;P^';R^' .

В примере 1, приведенном выше модели R² и L₂ не изоморфны. В примере 2 модели e² и E² изоморфны.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров