Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
1.4 Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами. Рассмотрим следующие две задачи.
Задача 1.
Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.
Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна  . Предположение о том, что = P/q – рациональное число опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что = P/q Þ p  = 2q Þ p=2k Þ 2q = 4k Þ q = 2m Þ = p/q.
Заметим, что величина является решением уравнения x -2=0. Действительные рациональные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений
x  + a  x  + … +a  x + a = 0 (10)
с целочисленными коэффициентами a  Î Z, k=1, …, n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число является алгебраическим числом и является результатом алгебраической операции – извлечения корня.
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал, см., например, [4], стр. 63, что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни для каких целых p, q Î Z.
Задача 2.
Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности есть единица длины.
Длина окружности L = 2pR, где R – радиус. В нашем случае L=3,1415… . Число p не является ни рациональным, ни алгебраическим, [4]. То, что число p не является рациональным числом, впервые было установлено в 1761 г. французским математиком Иоганном Генрихом Ламбертом (1728 – 1777).
Подчеркнем, что число p не является результатом применения алгебраических операций. Оно может быть выражено согласно алгоритму Ф. Гаусса [5], стр. 41, который представляет последовательность некоторых простых операций, пронумерованных числами натурального ряда.
|
