Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Абстрактное векторное пространство.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Вывод 2.
Координаты вектора определяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности 8 свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти 8 свойств называют аксиомами модели векторного пространства.
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 3.
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимнооднозначное соответствие (1), обозначим его
 ,  . (2)
Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:
 (3)
и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.
Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.
Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.
|
