Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Аксиомы скалярного произведения векторов.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов.
Модель  -мерного пространства  не содержит понятия длинны вектора при  . Для определения длинны вектора в при воспользуемся связью между длинной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением
 (4)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
1)  ,  (5)
2)  , и 
3)  ;  .
Следствие.
Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение
 ,  (6)
Если в качестве базиса выбрать векторы  , то используя свойства 1-3 находим координатное представление скалярного произведения:
 , 
 (7)
Мы воспользовались тем, что  ,  .
Следствие.
Используя (6) и (7), заключаем, что
 (8)
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом 5 и 2) существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (7):
  (9)
где  ,  в .
Теперь, согласно нашей схеме, длинна вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длинны вектора в -мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде
 . (10)
|
