Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Определение (дедуктивной полноты).
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Определение (дедуктивной полноты).
Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно-полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.
Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид:
И=ДUО (2)
Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.
Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты, см., например [7], [8].
В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R2 и в модели L2. Мы уже показали, см. пример п.6.5. §6, что модели R2 и L2 неизоморфны.
Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.
Определение (категоричности).
Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.
Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет примет некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L2 и R2 этой системы.
Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты.Если система аксиом категорична, то она и дедуктивно полна.
Обратное утверждение не справедливо. Существуют примеры дедуктивно-полных систем аксиом, у которых имеются неизоморфные реализации, см. далее пример 2 из п.8.8
|
