Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Понятие математической структуры.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Определение.
Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)º(x~y), если выполняются три условия:
1. Рефлексивности x~x;
2. Симметричности: если x~y, то y~x;
3. Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.
Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.
Любое отношение эквивалентности Ð(x,y) для (x,y)ÎM´M определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yÎM попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению Ð и обозначается M/Ð или M/p, что равносильно в силу следствия 1.
Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M=M  ÈM  È…ÈM  … и M  ÇM  =Æ при i¹j, то отношение принадлежности элементов одному классу (xÎM )Ù(yÎM )ºÐ(x,y) удовлетворяет условиям 1) - 3) отношения эквивалентности.
Следствие 2.
Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.
Аналогично двухместному, определяются n–местные отношения между элементами x ÎA ,…,x ÎA некоторых множеств A , …, A .
Декартово произведение A ´A ´…´A есть множество упорядоченных наборов (x ,x ,…,x ) элементов x ÎA ,…,x ÎA . n–местное отношение Ð(x ,…,x ) представляется некоторым подмножеством pÌ A ´A ´…´A по закону
{ Ð(x ,x ,…,x ) выполняется} Û (x ,x ,…,x )ÎpÌ A ´A ´…´A
Все рассмотренные в главе I системы аксиом:
Пеано для натуральных чисел;
Аксиоматика действительных чисел;
Аксиоматика векторных пространств
Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии;
Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства
можно характеризовать как системы утверждений T={T1, …,Tn}, задающих системы отношений Ð={ Ð1 , …, Ðp} между элементами некоторых множеств M1, …, Mp.
Например, 20 аксиом Гильберта T={T1, T2 …,T20} описывают отношения: Ð1 инцидентности, Ð2 порядка, Ð3 конгруэнтности, Ð4 отношения, определяющие свойства непрерывности, Ð5 отношение параллельности. Каждое из этих отношений определено на некоторых из множеств: M1 - множество точек, M2 - множество прямых, M3 - множество плоскостей, M4 - множество отрезков, M5 - множество углов, M6 - множество натуральных чисел. При этом, множества объектов M1, M2, M3 остаются основными, а множества M4, M5, M6 - вспомогательными.
Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T1, …,Tn} - собственно систему аксиом (систему утверждений), Ð ={ Ð1 , …, Ðp} - систему отношений и {M1, …, Mm}=M – систему базовых множеств. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.
|
