Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
§2 Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
2.1 О “Началах” Евклида.
Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.
Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:
· Точка есть то, что не имеет частей;
· Линия же - длина без ширины;
· Концы линии - точки;
· Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
· Параллельные прямые - это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.
Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.
Постулаты.
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Аксиомы.
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.
5. Удвоенные одного и того же равны между собой.
6. Половины одного и того же равны между собой.
7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. Целое больше части.
9. Две прямые не содержат пространства.
Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.
С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают все отношения между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий.
Существуют различные объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.
|
