Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 43Следующая ⇒

Теорема 1.

Две различные точки определяют одну и только одну прямую им инцидентную.

Теорема 2.

Три точки, не инцидентные одной прямой определяют одну и только одну плоскость им инцидентную.

Теорема 3.

Прямая и не инцидента ей точка определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную.

И так далее.

Группа 2. Аксиомы порядка.

Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.

9. Если А,В,С - три точки инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А,В,С различны; б) точка В лежит между точками С, A.

10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.

11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.

Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1-11.

Определение.

Две точки на прямой А и В определяют отрезок.

Следствие.

Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.

Определение.

Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.

Аксиома Паша.

12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мере еще одну сторону.

Вот типичная теорема этой группы аксиом.

Теорема 4.

Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Схема доказательства.

(1) существует т. С, не принадлежащая прямой АВ, (акс.3), рис.1;

(2) существует т. D на прямой АС и т. C лежит между А и D;

(3) существует прямая ВD, (акс.1-2) и существует т. Е и D лежит между В и Е;

(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).

(5) аналогично доказывается, что на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д.

Теорема доказана.

Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.

Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.

13. Пусть дан отрезок АВ а также прямая а^/ и точка .  точка  с заданной стороны относительно точки  такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку  (обозначим это АВ=АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.

14.

15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , АВ ВС=В, тогда
и  лежит между  и .

16. Пусть Ð  есть угол с вершиной О. Для любой точки  и любого выходящего из нее луча  можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от  один и только один, второй луч  такой, что Ð .

Требуется также, чтобы Ð  (угол конгруэнтен самому себе) и Ð

17. Пусть даны два треугольника АВС и  таких, что , , тогда .

На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между
А и С.

В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры