Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Определение абстрактного векторного пространства.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Пример 1.
Множество многочленов степени не выше 
образует векторное пространство, в котором мономы  – базисные элементы, а коэффициенты многочлена  – координаты вектора  в этом базисе.
Пример 2.
Пусть  ,  ,…,  - «  -местные наборы»,  имеет 1 на  -м месте и нули на остальных местах,  . Тогда объекты
образуют векторное пространство с базисными элементами  . Обозначим это пространство  .
Векторное пространство  , позволяет определить размерность всякого векторного пространства  при помощи следующей аксиомы.
9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм  .
Определение абстрактного векторного пространства.
Пусть для элементов  множества выполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогда есть -мерное абстрактное векторное пространство, а  является его арифметической моделью.
Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:
· выборки измерений  ;
· цены  наименований  ;
· наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.
Следствие.
Все -мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.
Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют  -мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так
 ,  .
Здесь  – мономы, а  – базисные орты в .
Если векторное пространство содержит для всякого  подмножество,  , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше образуют -мерные подпространства в этом пространстве.
|
