Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Модель или реализация системы аксиом.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Определение.
Математической структурой называется система отношений Ð ={ Ð1 , …, Ðp}, заданная на базовых множествах M1,…, Mm посредством системы аксиом T={T1,…,Tn}.
Таким образом определенную математическую структуру будем обозначать  = {T, Ð, M}. Для краткости эту структуру, соответствующую системе аксиом T иногда будем обозначать .
Примеры.
Указанные в начале пункта аксиоматики задают, соответственно, структуры: натуральных чисел, действительных чисел, векторных пространств, структуру геометрического евклидова пространства и структуру арифметического евклидова пространства.
Определение.
Система всех утверждений, доказываемых логическим путем в структуре , называется аксиоматической теорией этой структуры. Аксиоматическую теорию структуры будем обозначать символом  .
Пример.
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника является элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии без аксиом параллельности).
Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T, [9, стр. 117-118].
Модель или реализация системы аксиом T называется также моделью или реализацией как аксиоматической теории , так и структуры . Эту реализацию будем обозначать R(T)=R(T  , …,T  ).
Приведем примеры реализаций.
Модель линейного порядка Торальфа Сколема, см. п. 1.1, §1, является моделью или реализацией аксиоматики Пеано или структуры натурального ряда.
Множество действительных чисел является реализацией евклидовой прямой.
Арифметическая модель векторного пространства  , см. п. 3.2, §3, является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.
Арифметическая модель евклидова пространства  , см. п. 4.1, §4, является реализацией как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.
Множество n–местных наборов чисел (x ,…,x ) является реализацией n-мерного арифметического евклидова пространства  , см. п. 4.2, §4.
Модель Пуанкаре L  является реализацией планиметрии Лобачевского.
|
