Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Вывод 3.
Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n-мерное арифметическое евклидово пространство Rn, в котором основные геометрические объекты - прямые, плоскости размерности 2, 3, ..., n-1 - задаются системами алгебраических уравнений. При n>3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами. Объектами R4 являются лишь мыслимые объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие геометрические свойства» по аналогии с R3. Именно поэтому для определения координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 - существования хотя бы одной точки O, для которой определена операция откладывания векторов из E4 и которая считается началом координат в R4: O(0,0,0)ÎR4.
Замечание.
Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю - наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rn, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и т.д.
§5 Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
5.1 Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Аксиомы 1-3 I-ой группы аксиом Д. Гилберта вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости, см. п.2.2 §2. Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.
V’. Аксиома параллельности Лобачевского.
Через любую точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.
|
