Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
О представлении действительных чисел.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Определение 2.
Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1-15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиом непрерывности Кантора.
1.6 О представлении действительных чисел.
Мы видели, что формирование аксиоматик множеств натуральных рациональных и действительных чисел связано с выполнением определенных операций над числами. Система записи или представления чисел связана и с другими задачами.
Задача 1.
Построить символьную запись числа, в которой эффективно реализуются алгоритмы арифметических и алгебраических операций. Мы уже отмечали, что наиболее подходящей для этой цели является систематическая запись числа (десятичная, двоичная и др.)
Задача 2.
Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число a наилучшим образом, если для любого рационального числа m/n с n£q выполняется равенство |a-p/q| < |a-m/n|.
Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m = a  , a  , …,a  - десятичное приближение с “k” знаками после запятой числа a = a , a , …,a ,a  ,… . Тогда погрешность этого измерения определяется разностью:
|a-m/n| = a /10  +a  /10  +…<9/10 (1+1/10+…) = 9/10 ´
1/(1-1/10) = 1/10  ~1/n.
Для более лучших приближений используется представление иррационального числа цепной дробью, [6]. Если p/q - конечная цепная дробь, приближающая число a, то [6], стр. 46, |a-p/q| < 1/q  .
Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.
Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей, [6], стр. 29-30.
|
