Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Замечание 4.
То, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b” не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.
Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b” к прямой АВ (рис.3.).
Если существует пересечение прямых “a” и “b” в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b”Ç”а”=Æ.
Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V-постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата. Историческую роль V постулата мы исследуем отдельно, познакомившись с требованиями, предъявляемыми к системе аксиом.
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается не часто.
Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще ряд замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих свойств.
Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека.
Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n-мерного векторного пространства. Начнем с изучения структуры векторного пространства на множестве обыкновенных направленных отрезков.
|
