Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Основные факты в планиметрии Лобачевского.
Содержание книги
- Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.
- Каковы закономерности знаковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме?
- О понятии действительных чисел
- Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями.
- Аксиома связи сложения и умножения.
- Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел.
- Существуют числа, не являющиеся результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами и не представимые в виде p/q ни для каких целых p, Q.
- О представлении действительных чисел.
- Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
- Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- Теорема (о внешнем угле треугольника).
- Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- Группа 5. Аксиома параллельности.
- Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
- Структура векторного пространства.
- Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.
- Если в пространстве задан базис { 1, 2, 3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
- Абстрактное векторное пространство.
- Определение абстрактного векторного пространства.
- Аксиомы скалярного произведения векторов.
- Модель Вейля евклидовой геометрии.
- Свойства операции откладывания вектора.
- Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
- Определение плоскости Лобачевского.
- Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
- О роли открытия неевклидовой геометрии.
- Свойства аксиоматических систем.
- Понятие математической структуры.
- Модель или реализация системы аксиом.
- Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- Другими словами, Изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
- Требования , предъявляемые к системам аксиом.
- Независимость аксиоматической системы.
- Независимость аксиомы параллельности.
- Определение (дедуктивной полноты).
- Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- Анализ текстовых парадоксов. . Языковые свойства имен объектов. . Пример 1. . Пример 2. . Пример 3.
- Проблема выразимости.. Понятие искусственного языка.
- Парадокс достижимости в натуральном ряде.
Следствие 1.
В плоскости L2 через точку A вне прямой a проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с a (расходящихся с a). При этом существует в точности две параллельные g1 и g2, имеющие общие точки с a на абсолюте l:
A¥ = g1 Ç aÎ l, A¥ = g2 Ç aÎ l,
Вывод.
В модели L2 выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.
5.2 Основные факты в планиметрии Лобачевского.
Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L2 неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.
Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L2. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [7].
1. Сумма углов многоугольника в плоскости L2.
Рассмотрим треугольник, рис. 4(а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Т.к., по определению абсолюта вершины, А1,А2,А3 - бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя сторонами А1А2, А1А3 и А2А3 бесконечной длины. Т.к. в вершинах А1, А2 и А3 окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А1А2, А1А3 и А2А3 образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 4(b) представлен n-угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.
Если внутренние окружности на рис. 4(a) и (b) взять чуть большего радиуса, то точки А1А2…Аn попадут в плоскость L2 (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей, рис.4(с), то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.
|
