Показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
44. Показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Формула Эйлера
Пусть  - некоторое комплексное число. По определению полагают, что
Если число  - действительное, то есть  , то
Если число - чисто мнимое, то есть  , то
Таким образом, имеем равенство
 которое называется формулой Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа
Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме:  . По формуле Эйлера  ,а тогда
 Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:
Операции с комплексными числами в показательной форме
Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа  на комплексное число  выглядит следующим образом:
 
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :
Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.
Для возведения комплексного числа в целую степень  нужно представить это число в показательной форме  , модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в раз:
 
|
