Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 17Следующая ⇒

14.  Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Если некоторый вектор a представим в виде а =α₁а₁ + … +α_sa_s, где α1, …, αs – некоторые действительные числа, то говорят, что вектор а линейно выражается через векторы а1, …, аs (вектор а является линейной комбинацией этих векторов).

Система векторова1, …, аsназывается линейно зависимой, если выполняется равенство: α₁а₁ + … +α_sa_s=0

Система векторов а1, …, аsназывается линейно независимой, если равенство

α₁а₁ + … +α_sa_s=0 справедливо что α₁=…=α_s=0

Система состоящая из одного ненулевого вектора линейно независима. α₁а₁=0 (а₁неравно 0)

Т.е. имеет нулевое решение => линейно независима, имеет ненулевое решение=> линейно зависима.

Утверждения:

1. Система векторов а1, …, аsлинейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы.

2.  Если часть системы векторов (подсистемы системы а1, …, аs) линейно зависима, то и вся система линейно зависима

3. Если вся система линейно независима, то и любая подсистема линейно независима (в частности нулевой вектор не может входить в линейно независимую систему)

4. Всякая система а1, …, аsсодержащая нулевой вектор или два равных или два пропорциональных вектора => линейно независима

15.  Базис и ранг системы векторов

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Определение. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида

, где с1, с2, …, сk - некоторые числа.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров