Ранг матрицы, теоремы о ранге. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли). Критерий определенности системы линейных уравнений
16. Ранг матрицы, теоремы о ранге
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.
Теоремы:
1) Если какой-нибудь минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка, его окаймляющие, равны нулю, то ранг матрицы равен r.
2) При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется
17. Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли)
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
18. Критерий определенности системы линейных уравнений
Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой
Теорема: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.
  Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных,
Тогда:
1) при система несовместна;
   2) при система совместна, причём, если, система определённая; если же , , система неопределённая.
|
