Исследование систем методом Гаусса.
8. Исследование систем методом Гаусса.
Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований получится уравнение с отличным от нуля свободным членом и нулевыми коэффициентами при неизвестных, то система будет несовместной. Если такого уравнения не получим, то система совместна. При этом совместная система будет определенной, если она привелась к треугольному виду (r=n), и неопределённой, если она привелась к трапецоидальному виду с r<n.
Алгоритм:
1) Составить таблицу Гаусса
2) Разрешающий элемент aij≠0
9. Крамеровские системы. Метод Крамера.
Система линейных уравнений называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных.
Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определена, т.е. имеет единственное решение
10. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса.
Метод Гаусса включает в себя прямой ход (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.
Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными. То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.
|
