Собственные векторы и собственные значения матрицы (линейного преобразования)
Пусть по упорядоченному набору независимых переменных х1, …, хn численные значения зависимых переменных y1, …, ym определяются равенствами
 (8.1)
Система отношений (8.1) называется линейным преобразованием переменных х1, …, хn в переменные y1, …, ym. Числа аij называются коэффициентами линейного преобразования(8.1).
Можносчитать, что матрицаУ=(у1, …, уm) из пространства R m отображает вектор А. Х = (х1, …, хn) пространства Rn
Если векторы Х и У как матрицы–строки транспонировать в матрицы-столбцы
Х=       n
х
х
...
,У =           m
y
y
...
,
то (8.1), согласно определениям умножениям матриц и равенства матриц, запишется в виде матричного равенства У = АХ.
Линейное преобразование называется невырожденным или неособенным, если матрица этого преобразования является невырожденной (неособенной).
Справедливо утверждение: каждое невырожденное линейное преобразование переменных
Собственным вектором данного линейного преобразования (собственным вектором матрицы А) называется всякий ненулевой вектор Х  ), удовлетворяющий условию
АХ = λХ, (8.15)
гдеλ – некоторое число.
При этом число λ называется собственным значением линейного преобразованияилисобственным значением матрицы Аимеет единственное обратное линейное преобразование.
|
