Задача 19 (демонстрационный вариант 2018 г).

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 22Следующая ⇒

Задача 19 (демонстрационный вариант 2018 г).

Задача 1.

В последовательности , , …, , , состоящей из целых чисел,
, . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение.

а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

б) Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.

в) Рассмотрим три члена последовательности: , , .

Поскольку , , получаем: .

В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов. Пусть , тогда

; ,

откуда . Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.

Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов: 1, 2, 23, , 45, , 67, , 89, , 111, , , , 155, , 175, , 195, , 215, , 235.

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, , 7, , …, 233, , 235; б) нет; в) 23.

Содержание критерия

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Максимальный балл

Задача 2.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Решение.

а) Если на доске записано 29 зелёных чисел: 3, 6, …, 87 — и одно красное
число 21, то их сумма меньше 1395.

б) Пусть на доске ровно одно красное число. Тогда зелёных чисел 29,
а их сумма не меньше, чем сумма 29 наименьших чисел, делящихся на 3:

.

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1067.

в) Пусть на доске написано  красных чисел и  зелёных чисел. Тогда сумма красных чисел не меньше ,

а сумма зелёных чисел не меньше

.

Таким образом, ; ,

откуда, учитывая, что  — целое, получаем .

Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых
равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, …, 66, 69, 78.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Содержание критерия

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Максимальный балл

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры