Задача 16 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 16 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 1.
В трапеции  боковая сторона  перпендикулярна основаниям.
Из точки  на сторону  опустили перпендикуляр  . На стороне отмечена точка  так, что прямые и  перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые  и  параллельны.
б) Найдите отношение к , если  .
Решение.
а) Поскольку
 ,
около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1).
Значит,
 ,
то есть прямые и параллельны.
б) Опустим из точки  перпендикуляр 
на прямую (рис. 2). Стороны  и треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны и  , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку
коэффициент подобия равен  . Значит,
 .
Ответ: б)  .
Задача 2.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике  на продолжение боковой стороны  опущена высота  . Из точки  на сторону  и основание  опущены перпендикуляры  и  соответственно.
а) Докажите, что отрезки  и  равны.
б) Найдите , если  ,  .
Решение.
а) Поскольку  , около четырёхугольника  можно описать окружность с диаметром . Получаем:
 ,
поэтому  как хорды, стягивающие равные дуги.
б) В прямоугольных треугольниках  и  имеем:
 .
Поскольку  , получаем:
 .
Ответ: б)  .
Примеры оценивания решений задания 16
Пример 1.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
|
