Задача 14 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 14 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задание 1
В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах и  отмечены точки  и  соответственно, причём  . Точка  — середина ребра  . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Решение.
а) Проведём через точки и прямые, параллельные . Пусть эти прямые пересекают рёбра  и  в точках  и  соответственно (рис. 1). Тогда трапеция  является сечением исходной призмы плоскостью . Рассмотрим плоскость  . Пусть эта плоскость пересекает прямые ,  и  в точках  ,  и  соответственно. Четырёхугольник  — прямоугольник, причём  ,  .
Кроме того,  ,  , откуда  ,  . Пусть  — высота трапеции  (рис. 2), тогда
 .
Поскольку  ,
 ,
то есть прямые  и перпендикулярны.
Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .
б) Расстояние от точки до плоскости равно  , а площадь трапеции равна
 .
Значит, искомый объём равен  .
Ответ: б)  .
Задание 2
Основанием четырёхугольной пирамиды  является трапеция  , причём  . Плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых  и  .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды  , если  , а высота пирамиды равна 9.
Решение.
а) Заметим, что  . Плоскости
и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит,  — высота пирамиды. Таким образом, угол  является линейным углом двугранного угла между плоскостями
и . Значит, они перпендикулярны.
б) Поскольку  , трапеция является равнобедренной. Значит,
 ;
 .
Таким образом, площадь треугольника  равна  ,
а объём пирамиды равен  .
Ответ: б) 12.
|
