Примеры оценивания решений задания 18

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 22Следующая ⇒

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если , то получаем уравнение

;

;

.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  
и радиусом .

2) Если , то получаем уравнение

; ; .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  
и радиусом .

Полученные окружности пересекаются в двух точках  и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу  с концами в точках  и , во втором — дугу  с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку  и угловой коэффициент которой равен .

При  прямая  проходит через точки  и , то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая  касается дуги  в точке  и пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая  касается дуги  в точке  
и пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При  или  прямая  пересекает каждую из дуг  и  в точке  
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.

При  прямая  пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу  в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая  пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу  в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при .

Ответ: .

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или

При всех значениях a верно найдено количество решений системы
в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Максимальный балл

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману