Монотонность, экстремумы функции.

Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.

Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.

Теорема.В точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.

Доказательство:

Если прямая проходит через точку

Применим теорему Логранжа:

Поставим “-“ в , учитывая, что , тогда должна быть <0.

Второй раз применим теорему Логранжа:

Для вогнутости поставим “+”

должно быть >

Точка, в которой вторая производная равна нулю, называется точкой перегиба.

y

п

п

+

-

+

2. 8. АССИМПТОТЫ.

Асимптотой к кривой называется прямая, к которой график функции неограниченно приближается.

Асимптоты:

• Вертикальные
• Наклонные
• Горизонтальные - (частный случай наклонной асимптоты)

I.Вертикальные асимптоты всегда имеют уравнение , где – точка разрыва второго рода.

Значит

II.Наклонная асимптота имеет вид .

Пример:

– вертикальная асимптота, т.к.

Наклонная асимптота

Возможный вариант графика функции.

2. 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

План общего исследования функции.

1. Область определения, четность, периодичность.
2. С помощью пределов выясняем непрерывность, ищем асимптоты.
3. С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.
4. С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
5. График функции.

Примеры исследования функции:

I.

1) Функция нечетная.

2) вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота

3)

4)

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

3) – функция нечетная.

- при

- при

4) наклонных асимптот нет.

- горизонтальная асимптота.

- точка перегиба.

5)

- вертикальная асимптота.

6)

-точка перегиба.

7)

8)

9) Декартов лист.

Полярные координаты.

– декартовы координаты.

- полярные координаты.