Производная функции. Её физический и геометрический смысл.
Разрыв первого рода.
Пусть  и  существуют:
I. Если  , то в точке  функция испытывает разрыв скачок первого рода.
Примеры:
-
  -
 – целая часть числа x. 
-
 – дробная часть от числа x.  II.Если  , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.
Примеры:
1)  
2) 
3)  
4) 
Разрыв второго рода.
Функция испытывает разрыв второго рода, если  – не существует.
Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке.
Пусть функция  непрерывна на замкнутом отрезке  .
 Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на . Или  , где  .
 Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или  , где  – область значений.
 Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой  . Или  .
2.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ЕЁ ФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.
Пусть функция определенна в окрестности точки .
Тогда  , где  и  .
Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции (  ) и приращения аргумента (  ), когда  .
Дифференцируемость.
Механический смысл производной.
Производная – это скорость изменения функции.
Геометрический смысл производной.
Производная – это тангенс наклона угла касательной к график функции в данной точке к оси  .
 ; 
 при
Вычисление производной.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство:
 при 
  при , следует 
Обратное неверно.
Пример:
1) 
 ; 
 ; 
 ;  ; 
Таблица производных.
|
