Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 17Следующая ⇒

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.

Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при – бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что . Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин:

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах.

Теорема 1.Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6.Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

, где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что , то

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2.Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

– более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").

– более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").

Определение 3.Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3:при .

Теорема. Если и эквивалентны ( ) , то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ( ).

Тогда .

Определение 1. Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2. Функция непрерывна, если .

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если . Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

Определение 5. Функция непрерывна в точке справа, если .

Определение 6. Функция непрерывна в точке слева, если .

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Разрывы функции.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии