Теорема Ролля, теорема о корнях производных.
Теорема Ролля, теорема о корнях производных.
Доказательство:
Пусть  гладкая на  ,  .
Тогда     : 
Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.
 при 
 при 
Теорема Коши о среднем.
Доказательство:
Пусть  - гладкие на  .
 на
Тогда  :  , где  .
F – гладкая на отрезке  . По теореме Ролля :  .
по условию, а  так как иначе по теореме Ролля  , что противоречит условию.
Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях.
Доказательство:
Пусть гладкая на ,
Тогда :  .
Пусть  :
Геометрический смысл:
Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.
Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя).
Пусть  и  гладкие в окрестности  и 
Тогда 
Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Доказательство:
Применим теорему для и ,  , где а - точка в окрестности .
 где  .
 
Примеры:
1) 
2) 
3) 
2.5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
Пусть определена и непрерывна и имеет все производные до n-ого порядка включительно, в некоторой точке .
 - остаточный член в форме Тейлора.
 - полином Тейлора для .
1) 
2) 
3)  , где k=0,1,2,…n.
Запись остаточного члена.
  – остаточный член в форме Логранжа.
 – остаточный член в форме Коши.
 – остаточный член в форме Пиано.
Ряд Тейлора.
Формула Маклорена.
Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен.
1)  
2) 
3) 
4) 
5) 
|
