Нахождение обратной матрицы методом Крамера

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 17Следующая ⇒

Умножение матрицы на число

Для того чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент

матрицы умножить на это число:

Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров:

Свойства линейных операций

Если матрица в качестве элементов имеет нули , то такая матрица называется нулевой.

Произведение матриц .

Пример:

. = =

. =

.

Если для матриц А и В выполняется равенство А* В=В*А ,то

матрицы называются перестановочными.

Если для матриц А , В , С имеет смысл операция произведения,

то выполняются равенства

A(B*C)=(A*B)*C

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицы

A^T называется транспонированной по отношению к A

Если A_T получена из матрицы А заменой строк на столбцы то

назавают главной диагональю

Очевидно:

Если А является квадратной матрицей(n*n), то элементы матрицы

Если для квадратной матрицы выполняется условие

то матрица А называется симметричной и в этом случае достаточно указать элементы, стоящие на главной диагонали и элементы, стоящие над главной диагональю.

Понятие обратной матрицы.

Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц. Квадратная матрица ,у которой на главной диагонали стоят

единицы, а вне главной диагонали - нули, называется единичной матрицей.

Например, единичная матрица второго порядка:

Теорема.

Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n, то определитель их произведения равен произведению определителей матриц-сомножителей:

Определение обратной матрицы:

Матрица В называется обратной для матрицы А , если А и В перестановочны и А*В=В*А=Е

Обозначение обратной матрицы:

Теорема.

Если матрица А имеет обратную ,то ее определитель отличен от

нуля.

Доказательство.

Так как А имеет обратную матрицу, то

Воспользуемся теоремой о том ,что определитель произведения

равен произведению определителей.

что и требовалось доказать.

Теорема.

Если квадратная матрица А имеет определитель отличный от нуля, то данная матрица имеет обратную.

Доказательство.

Пусть матрица А такова, что её определитель отличен от нуля.

Докажем, что существует матрица В, такая что:

* =

Отсюда, в частности, следует:

Система (3) –из трех уравнений с тремя неизвестными, и т.к. определитель системы (3) по условию отличен от нуля , то эту систему можно решить методом Крамера причем решение (3) - единственно.

Аналогично можно доказать существование и единственность всех остальных элементов матрицы В.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности