Задачи для самостоятельного решения

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 21Следующая ⇒

Задачи для самостоятельного решения

1. Интенсивность потока посетителей столовой в обеденное время в среднем составляет 150 человек в час. В столовой имеются три зала, в каждый из которых направляется по 50 человек в час. В каждом зале находится один кассир, обслуживающий в среднем по одному посетителю в минуту. Определить характеристики эффективности работы столовой. Сравнить характеристики с характеристиками эффективности работы столовой по варианту, приведенному в примере. Какой из вариантов организации работы предпочтительней?

2. Железнодорожная касса станции дачного посёлка имеет два окна. В выходные дни интенсивность потока пассажиров составляет в среднем 0,9 чел/мин. Кассир затрачивает на обслуживание одного пассажира в среднем 2 минуты. Определить время, затрачиваемое пассажиром на покупку билета. Какова вероятность отсутствия очереди в кассы?

3. В банке для обслуживания клиентов задействовано три сотрудника, проводящие все операции. В среднем за час банк посещают 10 клиентов, из них 6 обращаются по вопросам вкладов, 4 - по вопросам, связанным с кредитами. Среднее время обслуживания одного клиента сотрудником равно 15 минут. Руководство банка для поиска лучшего варианта обслуживания клиентов рассматривает два варианта: с общей очередью и приёмам каждым сотрудником клиентов по любым вопросам; приёмом одним сотрудником клиентов только по вопросам кредитов и двумя сотрудниками только по вопросам вкладов. Какой из вариантов организации работы эффективнее?

2.4.4. Замкнутая СМО

В выше рассмотренных открытых СМО источник заявок находился вне системы, и поток заявок имел постоянную интенсивность. Если заявки не покидают систему, а интенсивность их потока зависит от состояния системы, то возникает замкнутая СМО. Входящий поток порождается ограниченным числом заявок m, каждая из которых в случайные моменты времени может потребовать обслуживания. В системе имеется n<m каналов обслуживания. Если заявка в какой-то момент времени потребует обслуживания и имеются свободные каналы, то один из них начинает обслуживать заявку. При занятости каналов заявка становится в очередь. Будем считать интенсивность λ потока, порождаемого одной заявкой, равной величине обратной среднему времени между моментом завершения обслуживания заявки и моментом возникновения потребности в её обслуживании. Интенсивность обслуживания одним каналом μ, как и ранее, считаем величиной обратной к среднему времени обслуживания заявки. Все потоки считаем простейшими.

Перечислим состояния системы: S₀ − все n заявок не требуют обслуживания, все n каналов свободны; S₁ − одна заявка требует обслуживания и находится на канале обслуживания, n-1 канал свободны, … , S_n − n заявок требуют обслуживания и находятся на обслуживании, все каналы заняты; S_n+1 – n+1 заявка требуют обслуживания, n из них обслуживаются, одна находится в очереди; … ; S_m – все заявки требуют обслуживания, n из них обслуживаются, m-n находятся в очереди. Граф состояний замкнутой СМО приведен на рисунке 12.

Рис. 12.

Имеем процесс гибели и размножения, для которого из системы уравнений Колмогорова для финальных вероятностей состояний получим:

Вероятность отказа в системе равна нулю, поэтому относительная пропускная способность Q=1. Среднее число занятых каналов обслуживания . Абсолютная пропускная способность . Среднее число заявок в очереди . Зная среднее число занятых каналов и среднее число заявок в очереди определим L_C − среднее число заявок, находящихся на обслуживании или в очереди. А именно, . Можно получить и другую формулу для L_C из следующих рассуждений. Если в системе имеется L_C заявок, требующих обслуживания, оставшиеся заявки формируют поток на обслуживание интенсивностью λ(m-L_C). Если система находится в предельном стационарном режиме, то этот поток должен уравновешиваться интенсивностью потока обслуженных заявок . То есть . Отсюда .

Найдём среднее время W_O нахождения заявки в очереди. Для заявки, потребовавшей обслуживания в момент времени, когда система находится в одном из состояний S₀ , S₁,…, S_n-1, время ожидания будет равно нулю. Нулевое время ожидания необходимо приписать и состоянию S_m , так как в нём заявок, требующих обслуживания, не возникает. Для заявки, потребовавшей обслуживания в момент времени, когда система находится в состоянии S_n , время ожидания в среднем составит 1/nμ, так как заявка должна стать в очередь и дождаться ближайшего момента окончания обслуживания в каком-либо из n независимо функционирующих каналов. Заявка, заставшая систему в состоянии S_n+1 , должна будет дождаться второго из ближайших событий в суммарном потоке обслуживания. Тем самым время ожидания для неё удвоиться. Таким образом, для заявки, заставшей систему в состоянии , время ожидания в среднем составит (i+1)/nμ единиц времени. В результате среднее время ожидания

.

Среднее время от момента возникновения потребности в обслуживании до завершения обслуживания заявки в системе Wс равно .

Пример.Лаборатории имеет 5 однотипных приборов для проведения контроля качества, которые обслуживаются двумя инженерами. Прибор требует калибровки в среднем каждые два часа. Инженер тратит на калибровку прибора в среднем 12 минут. Прибор имеет среднюю пропускную способность  3  пробы в час.  Определить пропускную способность лаборатории.

Решение.В этом примере источником заявок на обслуживание являются приборы, роль каналов обслуживания выполняют инженеры. Из условий примера имеем: m=5, n=2, λ=0,5 заяви в час, интенсивность потока обслуживания μ=5 заявок в час, ρ=0,1.

Определим финальные вероятности состояний. Получим

Среднее число занятых инженеров будет равно

Посчитаем среднее число калибруемых и стоящих в очереди приборов: L_C=5-0,45/0,1=0,5. Следовательно, среднее число приборов, занятых работой будет равно m- L_C =5-0,5=4,5. Отсюда, пропускная способность лаборатории равна μ(m- L_C)=13,5 пробы в час.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров