Простейшие системы массового обслуживания

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 21Следующая ⇒

2.4. Простейшие системы массового обслуживания

Все потоки событий (входящий поток заявок, поток обслуживания), приводящие к переходу системы из одного состояния в другое, всюду ниже будем считать простейшими. Поток обслуживания это поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Время обслуживания одной заявки является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Из предположения простоты потока обслуживания, получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. То есть вероятность того, что время обслуживания T не превосходит некоторой величины t, определяется формулой

где μ - параметр экспоненциального распределения времени обслуживания требований в системе, то есть величина, обратная среднему времени обслуживания .

Перейдём к рассмотрению конкретных простейших СМО.

2.4.1. n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Задача Эрланга одна из первых по времени «классических» задач теории массового обслуживания. Эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале прошлого века датским математиком Эрлангом.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности: Q - относительную пропускную способность (среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой); А − абсолютную пропускную способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени); Р_отк − вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;  − среднее число занятых каналов.

Перечислим возможные состояния системы: S₀ − в системе нет ни одной заявки; S₁ – в системе одна заявка (один канал занят, n-1 канал свободны); … ; S_n – в системе n заявок (все каналы заняты). Граф состояний системы приведен на рисунке 9. Получаем, что функционирование системы представляет собой процесс гибели и размножения. Пусть так называемая приведенная интенсивность потока заявок. Это среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки. Для финальных вероятностей состояний имеем:

Указанные формулы называются формулами Эрланга.

Рис. 9.

Вероятности отказа . Относительная пропускная способность . Абсолютная пропускная способность . Среднее числа занятых каналов можно определить по формуле . Можно использовать более простую формулу. Среднее число A заявок, обслуженных в единицу времени, будет рав­но среднему числу занятых каналов , умноженному на интенсивность потока обслуживания каждого канала m. Отсюда .  указывает также среднее число заявок в системе.

Пример. В отделе технического контроля предприятия работают три сотрудника. Все комплектующие детали для продукции предприятия проходит через отдел, но если сотрудники заняты проверкой ранее поступивших деталей, то комплектующие поступают в цех сборки без проверки. В среднем в течение часа в ОТК поступает 24 детали. Среднее время проверки детали одним контролёром равно 5 минут. Определить вероятность попадания непроверенной детали в цех сборки, загрузку контролёров и количество сотрудников в отделе для проверки не менее 95% деталей.

Решение.По условию задачи λ=24 дет/час =0,4 дет/мин, , ρ=λ/μ=2. Тогда вероятность простоя контролёров

.

Вероятность отказа в обслуживании . Относительная пропускная способность . Абсолютная пропускная способность 0,316. Среднее число занятых сотрудников .

Итак, получаем, что 21% деталей будет попадать в цех сборки без проверки, загрузка контролёров составит 53%.

Произведя расчёт вероятности отказа при четырёх контролёрах, получим . То есть почти 9,5% деталей не пройдут контроль.

При пяти контролёрах получим: . Следовательно, P_об=0,963. При пяти контролёрах более 95% деталей пройдёт контроль.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману