Задачи для самостоятельного решения

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 21Следующая ⇒

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время τ,

можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий, то есть показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.

2. Среднее число заказов такси, поступающих за одну минуту равно трём. Найти вероятность того, что за две минуты поступит а) четыре вызова; б) менее четырёх вызовов; в) не менее четырёх вызовов. Поток заказов предполагается простейшим.

3. Задана интенсивность простейшего потока λ=5. Найти а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины T – времени между появлениями двух последовательных событий потока.

4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту равно двум. Найти вероятность того, что за четыре минуты поступит: а) три вызова; б) менее трёх вызовов; в) не менее трёх вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

2.3. Формула Литтла

Выведем для предельного стационарного режима формулу, связывающую среднее число заявок L_С, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W_С. Рассмотрим любую СМО и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ. Пусть Х(t) − число заявок, прибывших в СМО до момента времени t, Y(t) − число заявок, покинувших СМО до момента t. Функции Х(t), Y(t) являются случайными и увеличиваются на единицу в моменты прихода заявок в систему (Х(t)) и моменты ухода заявок из системы (Y(t)) (рис. 8). Для любого момента t разность Z(t) = Х(t) - Y(t) есть число заявок, находящихся в СМО. Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок,

Рис. 8.

находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т,

.

Этот интеграл представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 8. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t₁, t₂ ,... Получим

,

где суммирование ведётся по всем заявкам, пришедшим за время Т.

Разделим и умножим правую часть на интенсивность потока λ.

.

Так как λТ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т, то среднее время пребывания заявки в системе будет

.

Отсюда получим формулу Литтла

.

Аналогично можно вывести формулу Литтла для среднего число заявок в очереди L_О и среднего времени пребывания заявки в очереди

.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры