Потоки событий. Простейший поток и его свойства

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 21Следующая ⇒

Поскольку изменение состояния системы происходит под воздействием случайных событий, рассмотрим понятие потока событий. Случайный поток событий это последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но для простаты будем рассматривать поток однородных событий.

Случайный однородный поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени ∆t есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале. Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попадающих на другой. Ординарный поток без последействия называется пуассоновским потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что для этого потока вероятность того, что в интервале времени (t, t+τ) произойдёт k событий определяется по закону Пуассона:

 ,

где a – параметр Пуассона, λ(ξ) – мгновенная плотность потока событий (предел отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени (ξ,ξ+∆t) к длине интервала ∆t, при ∆t стремящемся к нулю). Поток называют стационарным, если вероятность появления k событий на интервале времени (t, t+τ) не зависит от t и определяется только τ. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим. Для стационарности потока характерна постоянная мгновенная плотность λ и поэтому у простейшего потока параметр a= λτ и является математическим ожиданием случайной величины равной числу событий, попадающих на любой участок времени длительностью τ. Плотность λ называют также интенсивностью потока, и она указывает среднее число событий, приходящихся на единицу времени.  Поэтому для простейшего потока вероятность появления k событий за время τ равна:

 .

В частности, вероятность того, что за время τ не произойдёт ни одного события, будет .

Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

Вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

,

 а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины Т, есть

 .

Плотность вероятности случайной величины Т будет равна

.

Таким образом Т имеет показательное распределение, а её математическое ожидание равно λ^-1.

Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время t, то закон распределения оставшейся части промежутка (T-t) будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для "отсутствия последействия" — основного свойства простейшего потока.

Простейший поток возникает в теории случайных процессов в качестве предельного при наложении независимых потоков. А именно:  при суперпозиции достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков, сравнимых между собой по интенсивностям λ_i (i=1,2, ..., п), получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью .

Пример.На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов и интенсивностью λ=1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придёт ни одного вызова; б) придёт ровно один вызов; в) придёт хотя бы один вызов.

Решение. Так как поток вызовов является простейшим, вероятность появления k вызовов за время τ определяется по закону Пуассона. Следовательно: а) вероятность того, что вызовов не будет

;

б) вероятность ровно одного вызова

 ;

в) вероятность хотя бы одного вызова

.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности