Energía en el m.a.s.: Energía cinética

Para calcular k, ten en cuenta que F = k·x ; 0,05·9,8 = k·0,049 ; k = 10 N/m

;

v_máx = ω·A = 5,8·0,1 = 0,58 m/s

a_máx = ω²·A = 5,8²·0,1 = 3,3 m/s²

^{-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

Importante:Se denomina péndulo simple al sistema compuesto por una masa puntual que cuelga de un hilo sin masa e inextensible.

Un péndulo simple en reposo se encuentra siempre en orientación vertical. Cualquier perturbación sobre el mismo da lugar a una oscilación en torno a esta posición de equilibrio vertical.

Como puedes observar, este caso es algo más complicado respecto al de un oscilador armónico, pues la trayectoria del péndulo es una curva en dos dimensiones, por lo que será necesario estudiarlo descomponiendo las fuerzas en las direcciones de los dos ejes coordenados x e y, que en este caso se tomarán por conveniencia en la dirección del hilo, tal y como observas en la figura.

El problema que se tratará en esta unidad será una simplificación del modelo de péndulo simple, en el que se considerará que la amplitud del ángulo de oscilación es muy pequeño en relación con la longitud total del hilo, lo que permitirá aproximar las ecuaciones de forma que las ecuaciones del movimiento sean expresiones sencillas.

Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son:

● La atracción gravitatoria;conocida comúnmente como peso, y de valor p = m·g, que siempre está orientada verticalmente en la dirección del eje y.

● La tensión del hilo; que aquí se indicará como T_hpara evitar su confusión con el periodo (T), cuyo valor cuando el péndulo se encuentra en posición vertical es exactamente igual al del peso.

En una posición desplazada del equilibrio, el hilo formará un ángulo θrespecto a la vertical. En esta situación el peso de la partícula puede descomponerse en dos fuerzas, F_y en la dirección del hilo (eje y) y otra F_x perpendicular a él (eje x) y con sentido hacia el punto de equilibrio:

Teniendo en cuenta que el movimiento se producirá únicamente en la dirección del eje x, puesto que el hilo se ha definido como inextensible, las ecuaciones del movimiento para este sistema resultan ser:

La ecuación de interés es la primera de ellas donde, si el ángulo es lo suficientemente pequeño, los valores de su seno y su tangente son prácticamente iguales. Además, es posible calcular el valor de esta tangente en el triángulo definido por el hilo y la vertical, tal y como se muestra en la figura, que resulta ser .

Realizando la aproximación y sustituyendo este valor en la ecuación del movimiento:

Por otra parte, como para todo m.a.s. la aceleración tiene la forma a = -ω²·x , al igualar ambas ecuaciones se obtiene:

Importante:El movimiento de un péndulo simple está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión:

El periodo de un oscilador armónico es:

Mientras que su frecuencia resulta ser:

De estas ecuaciones resulta interesante observar que, para ángulos suficientemente pequeños, el periodo es independiente de la masa del péndulo o de la amplitud de la oscilación, dependiendo únicamente de la longitud del hilo.

Ejercicio resuelto: Un reloj de péndulo (supuesto un péndulo simple) tiene un periodo de 2 s en la superficie de la Tierra ( g = 9,8 m/s2), ¿cuál es el período del reloj sobre la superficie de la Luna, donde g=1.6 m/s2.

A partir de la ecuación del período de un péndulo, relaciona el período en la Tierra y el período en la Luna:

 y dividiendo una por la otra: , y el período en la Luna,

Ejercicio resuelto: ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de un péndulo de 1 m de longitud en Marte, si el peso de los cuerpos en Marte es el 40 % de su peso en la Tierra? (g en la Tierra = 9,8 m/s2)

La frecuencia de oscilación de un péndulo en Marte es:

Como ,  y

,por tanto,

Si recuerdas el tema dedicado a la energía en la física y química de primero de bachillerato, definíamos la energía cinética como aquella energía asociada al movimiento, y obtuviste su expresión general :

Por otra parte, en el punto dedicado a la cinemática del m.a.s. se ha encontrado el valor para la velocidad en este tipo de movimientos, tanto en función del tiempo como de la posición:

ara encontrar el valor de la energía cinética, bastará con sustituir estas expresiones en la ecuación de la energía cinética.

Así, la energía cinética de un m.a.s. en función del tiempo es:

Y en función de la posición:

En el caso particular de un oscilador armónico, la frecuencia angular tomaba un valor , por lo que esta expresión queda como:

Importante: La energía cinética en un m.a.s. puede expresarse:

- En función del tiempo;

- En función de la posición;

En el caso particular de un oscilador armónico, es posible expresar la energía cinética en función de la constante elástica (k) del oscilador:

Puedes observar como la energía cinética es máxima en el punto de equilibrio (x = 0) y se anula en los extremos de la trayectoria (x = ±A)

------------------------------------------------------------------------------------------