Conservación de la energía

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Ejercicio resuelto: Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. ¿Cuál es la energía cinética máxima del saco?¿ Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio?

La energía cinética de un oscilador en función de la posición es:

Calcula la pulsación, ω = 2 π · f = 2 π · 3 = 6 π rad/s

La energía cinética máxima E_cmáx será: 

La energía cinética en x=10 cm:

Ejercicio resuelto: Un cuerpo de 0,4 kg de masa unido a un resorte experimenta un m.a.s. con un período de 0,75 s y una amplitud de 10 cm. ¿Cuál es la constante elástica del resorte?¿Qué energía cinética posee el cuerpo a 6 cm de la posición de equilibrio?¿Cuáles son la velocidad y la aceleración máximas?

Calcula en primer lugar la pulsación, ω = 2π/T = 2π/0,75 = 8,4 rad/s

La constante elástica k = m·ω² = 0,4·8,4² = 28,2 N/m

La energía cinética,

La velocidad máxima, v_máx = ω·A = 8,4·0,1 = 0,84 m/s

La aceleración máxima, a_máx = ω²·A = 8,4²·0,1 = 7,06 m/s²

4.1 Energía potencial

En primero de bachillerato, en el tema correspondiente a energía, pudiste ver la existencia de distintos tipos de energía potencial, asociados cada uno de ellos a una fuerza en particular. Así, la energía potencial gravitatoria estaba asociada a la acción de la atracción gravitatoria, mientras que la energía potencial elástica lo estaba a la fuerza recuperadora de un oscilador armónico, justamente la responsable del movimiento armónico simple.

La característica de la fuerza recuperadora es que es directamente proporcional a su deformación ( ). Al ser la fuerza elástica dependiente de , el trabajo puede hallarse gráficamente. En la figura el trabajo que realiza la fuerza

cuando la partícula se mueve desde una posición a otra es equivalente al área sombreada:

Observa que si se produce un desplazamiento positivo ( ) el trabajo realizado es negativo, mientras que si el desplazamiento es negativo ( )

el trabajo es positivo.

omo el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a menos la variación de la energía potencial experimentada por el oscilador, puede escribirse:

Si se elige el valor 0 de la energía potencial cuando el oscilador se encuentra en la posición de equilibrio ( ), es posible expresar la energía potencial elástica como:

Importante: La energía potencial elásticade un cuerpo sometido a una fuerza recuperadora y que se encuentra a una distancia x de la posición central de equilibrio es:

Observa que la energía potencial elástica se anula en la posición de equilibrio (x = 0) y es máxima en los extremos (x = ±A)

Puede calcularse la energía potencial elástica en cualquier punto de la trayectoria sustituyendo la ecuación de la posición para un m.a.s.

donde se ha tenido en cuenta la expresión de la frecuencia angular en función de la constante elástica.

Importante: La expresión de la energía potencial elástica en función del tiempo es:

Ejercicio resuelto: Apoyado en un plano horizontal, sin rozamiento, hay un bloque de masa m = 0,5 kg, sujeto al extremo libre de un resorte horizontal, fijo por el otro extremo. Aplicas al bloque una fuerza de 15 N y el resorte se alarga 10 cm. En esta posición sueltas el cuerpo, que inicia un movimiento armónico simple. ¿Cuál es la ecuación de movimiento del bloque?¿Cuáles son las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 3 cm?

La constante elástica, por la ley de Hooke, es: k = F/x = 15/0,1 =150 N/m

La pulsación del movimiento,

La ecuación del m.a.s.:

Como para t=0, x=0,1 m: 0,1 = 0,1 sin φ_o → sin φ_o = 1 → φ_o = π/2

y la ecuación del movimiento: x = 0,1 sin (17,3 t + π/2)

Energía cinética: E_c = 1/2 k (A² - x²) = 1/2·150 (0,1² - 0,03²) = 0,68 J

Energía potencial: E_p = 1/2 k x² = 1/2·150·0,03² = 0,07 J

Al ser la fuerza restauradora una fuerza conservativa, en ausencia de otras fuerzas, la energía se conservará.

En la siguiente animación interactiva puedes observar la variación de la energía potencial de un oscilador armónico con la posición, y obtener todos los valores del movimiento:

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